Сигналы раннего предупреждения критических переходов в сложных системах

2023/2024

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Общеуниверситетский факультатив

Кто читает: Департамент прикладной математики

Когда читается: 2 модуль

Охват аудитории: для всех

Преподаватели: Дмитриев Андрей Викторович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

«Предупрежден, значит вооружен» - известная пословица, которая по существу и кратко отражает содержание курса. Другими словами, своевременная идентификация предвестников приближения системы к критической точке в режиме реального времени позволит, как минимум, минимизировать катастрофические последствия самоорганизованно критических переходов или, как максимум, их предотвратить. Природа сложных систем, способных к таким переходам, очень разнообразна. Возникновение землетрясений, распространение лесных пожаров, крахи финансовых рынков и зарождение лавин информации в социальных сетях - это далеко не полный перечень явлений, обусловленных критическими переходами первого и второго рода. Удивительно, но факт: не смотря на все многообразие систем, способных к критическим переходам, меры раннего обнаружения критических переходов в них ведут себя одинаково по мере приближения систем к критической точке. В данном курсе мы рассмотрим семейство наиболее эффективных мер раннего обнаружения: от самых простых мер корреляционной теории до мер теории фракталов и теории хаоса. Выделим из этого семейства меры, которые в некоторых случаях являются ложноположительными и ложноотрицательными. Рассмотрим поведение мер на уровне стохастической динамики макроскопических параметров системы, например, объём сделок по акциям публичных компаний, число микропостов в онлайновой социальной сети, число заболевших COVID-19). Курс состоит из теоретического материала (лекции) и семинарских занятий (компьютерный практикум в Matlab). Пререквизитами курса являются базовые университетские курсы математики (линейная алгебра и математический анализ) и теории вероятностей и математической статики, а также базовые навыки программирования.

Цель освоения дисциплины

формирование теоретических знаний по общим методам и подходам к поиску предвестников критических переходов в сложных системах
выработка умений и практических навыков построения и анализа математических моделей задач поиска предвестников критических переходов в сложных системах различного происхождения

Планируемые результаты обучения

ознакомление с основными концепциями и подходами к поиску сигналов раннего предупреждения критических переходов в сложных системах
ознакомление с фундаментальными особенностями динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
овладение основами построения тестовых моделей самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
овладение основами вычисления мер корреляционной теории и их применения к поиску предвестников критических переходов
ознакомление с основами методов вычисления экспоненты Херста и показателя степенного закона для мощности спектральной плотности и их использованию в качестве мер раннего обнаружения критических переходов
ознакомление с основами метода бестрендового флуктуационного анализа и его применения к оценке экспоненты Херста как меры раннего обнаружения критических переходов
ознакомление с основами мультифрактального формализма
ознакомление с основами мультифрактального бестрендового флуктуационного анализа для оценки параметров мультифрактального спектра как мер раннего предупреждения критических переходов
ознакомление с основами непрерывного вейвлет-преобразования
ознакомление с основами метода максимумов модулей непрерывного вейвлет-преобразования и его применения для оценки глобальной экспоненты Гельдера и моментов распределения локальных экспонент Гельдера как мер раннего предупреждения критических переходов
ознакомление с основами дискретного вейвлет преобразования
ознакомления с основами метода лидеров дискретного вейвлет-преобразования и его применения для оценки логарифмических кумулянтов как мер раннего предупреждения критических переходов
ознакомление с основами теории хаоса
ознакомление с основами вычисления мер реконструированного фазового пространства как мер раннего обнаружения критических переходов

Содержание учебной дисциплины

Предвестники критических переходов: основные концепции и подходы
Фундаментальные особенности динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
Тестовые модели самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (I): меры корреляционной теории
Меры и предвестники критических переходов в стационарных рядах: экспонента Херста и показатель степенного закона для мощности спектральной плотности
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (II): обобщенная экспонента Херста
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (III): параметры мультифрактального спектра
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (IV): глобальная экспонента Гельдра и моменты распределения локальных экспонент Гельдера
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (V): логарифмические кумулянты
Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (VI): аппроксимционная энтропия, размерность вложения, корреляционная размерность и экспоненты Ляпунова

Элементы контроля

Вычисление мер раннего предупреждения и анализ эффективности предвестников критических переходов
Оригинальное исследование
Экзамен

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 2 модуль
0.3 * Вычисление мер раннего предупреждения и анализ эффективности предвестников критических переходов + 0.2 * Оригинальное исследование + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины