Математический анализ 2

Бакалавриат 2023/2024

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Онлайн-часы: 20

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Зароднюк Алёна Владимировна, Колесниченко Елена Юрьевна, Платонова Ксения Сергеевна, Радомский Артем Олегович, Султанов Азат Русланович, Устинов Алексей Владимирович, Чанга Марис Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. В рамках данного курса студенты так же познакомятся с рядами Фурье и преобразованием Фурье, которое смогут изучить более подробно в последующих курсах.

Цель освоения дисциплины

Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности.
Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства.

Планируемые результаты обучения

Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).

Содержание учебной дисциплины

Числовые ряды. Критерий Коши. Теорема о группировке членов ряда
Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Гаусса.
Интегральный признак Коши. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле, Лейбница, Абеля. Теорема о перестановке членов знакопостоянного ряда.
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов. Произведение рядов по Коши: теорема Мертенса, теорема Абеля.
Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
Равномерная сходимость функционального ряда.
Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения.
Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла. Множество лебеговой меры нуль.
Свойства множеств лебеговой меры нуль. Топология R^n, критерий компактности в R^n.
Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте.
Критерий Лебега (продолжение).
Критерий Лебега для допустимых множеств.
Евклидовые и нормированные пространства.
Полнота основной тригонометрической системы.
Лемма Римана.

Элементы контроля

Домашнее задание
Коллоквиум 1
Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено.
Коллоквиум 2
Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено.
Контрольная работа
Экзамен
Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5 задач.

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 2 модуль
Итог = Округление(0.13 * ДЗ + 0.16*КЛ1 + 0.16*КЛ2 + 0.2 * КР + 0.35 * Э), где ДЗ = min (10; средняя оценка за все домашние задания + О_сем), О_сем - дополнительный балл в размере 0, 0.5 или 1, который семинарист может высставить студенту за активное участие в работе семинаров, КЛ1 - оценка за коллоквиум 1, КЛ2 - оценка за коллоквиум 2, КР — оценка за контрольную работу, Э — оценка за экзамен.

Список литературы

Авторы

Кононова Елизавета Дмитриевна

Программа дисциплины