2024/2025

Математические модели и дифференциальные уравнения

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Динамика огромного количества явлений описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами, линейными и нелинейными. Рост отдельного организма и размножение популяции при отсутствии ограничений на ресурс и его наличии, при наличии двух популяций: хищников и жертв или друг друга не трогающих, но конкурирующих за общий ресурс, модель экономического развития или модель развития эпидемии, модель воюющих орд, химическая кинетика, колебания различных маятников, с трением и без, резонансные явления. В курсе будут объясняться различные методы аналитического решения, анализироваться корректность задачи Коши, выясняться существование и единственность краевой задачи. Важные практические вопросы: существование стационарных и периодических решений и их устойчивость. Во многих случаях для ответа полезно использовать первые интегралы модели (типа сохраняющихся энергии или момента импульса системы). Для линейных уравнений и систем полезны метод Лагранжа (позволяющий по известным решениям однородной задачи строить решения неоднородной) и преобразование Лапласа (позволяющее свести решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим преобразованиям. В тех случаях, когда аналитическое решение уравнения или системы невозможно, применяются численные методы. Для решения задачи Коши популярны методы Рунге – Кутты, которые будут в курсе отрабатываться на программистских семинарах. Император Наполеон ценил свое время и деньги. Но он пригласил в Тюильри Хладни. Тот насыпал на квадратную пластинку опилки, и стал по ее краю водить смычком. Опилки собирались вдоль определенных линий. «Он сделал видимым звук». Посмотреть можно тут: https://habr.com/ru/post/406637/ или тут: https://www.youtube.com/watch?v=ahkgm6yy_BU Наполеон смотрел и слушал ученого два часа и дал денег на публикацию. Был объявлен конкурс на математическую модель. Приз после нескольких не совсем удачных попыток получила Софи Жермен (заметен вклад комментариев Лагранжа). Для описания явления было получено уравнение в частных производных, и математика начала свою работу. Теперь эти уравнения применяют для расчетов вибраций в пластинах, лопастях турбин, крыльев самолетов и т.п. В курсе мы изучим, как распространяется тепло по сковородке, как волна на струне или мембране барабана отражается от границы, как вибрирует стержень после удара (поперечного или продольного) как бежит волна воды вдоль канала и импульс по нервному волокну, как вычислить справедливую цену на опционы и т.д. Мы покажем, как эти модели получаются из наблюдений и логическими построениями, и какие выводы, качественные и количественные, можно получить с помощью математического аппарата и применения компьютеров. Мы обсудим проблему корректности решения задачи Коши, – в каких случаях шумы в исходных данных могут при решении нарастать сколь угодно быстро со временем. Будет показано, как интегральные преобразования позволяют решать уравнения во всем пространстве, а разложения в ряды Фурье – в ограниченных областях. Выясним, чем важна правильная постановка граничных условий в краевой и смешанной задачах.