Бакалавриат 2024/2025

Методы оптимизации

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Игнатовская Валерия Анатольевна, Манита Лариса Анатольевна, Румянцева София Васильевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина является дисциплиной базовой части Профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ, линейная алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, компьютерный практикум. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать основные разделы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; · уметь вычислять интеграл Римана от функции одной и нескольких переменных; · уметь работать с матрицами, вычислять определитель матрицы, вычислять собственные значения матрицы; · уметь решать системы уравнений; · уметь решать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений; · владеть навыками работы с функционалами · уметь вычислять нормы функционалов · уметь работать в системе MatLab, Mathematica; · знать основные методы численного решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин Теория управления, Численные методы, Прикладные стохастические модели, при выполнении выпускной квалификационной работы

Цель освоения дисциплины

• Одной из важных задач специалиста в области Прикладной математики является разработка математической модели конкретной проблемы, ее анализ и интерпретация, выбор приемлемого или наилучшего решения. Цели данного курса – развить навыки формализации проблемы в виде оптимизационной задачи, освоение методов нахождения наилучших решений, приобрести навыки применения соответствующего программного обеспечения. Планируемые к изучению разделы: метод множителей Лагранжа в конечномерных задачах оптимизации, динамическое программирование, основы вариационного исчисления и оптимального управления. Будут рассмотрены приложения изученных методов для решения прикладных задач.

Планируемые результаты обучения

• Студент должен знать: - необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений; - необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений; - основные методы исследования знакоопределенных и знакопеременных матриц.
• Студент должен знать: - необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств.
• Студент должен знать: - понятие целевого функционала, - определения локального и глобального экстремума.
• Студент должен знать: -необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств; - условия регулярности для задач с ограничениями в виде равенств.
• Студент должен знать: · понятие целевого функционала, определения локального и глобального экстремума; · метод множителей Лагранжа для решения оптимизационных задач; · особенности решения выпуклых задач; · метод динамического программирования; · основные методы вариационного исчисления и оптимального управления;
• Студент должен знать: алгоритм решения задачи вариационного исчисления и оптимального управления
• Студент должен знать: основные постановки задач динамического программирования; принцип оптимальности Беллмана;
• Студент должен иметь навыки: · интерпретации проблем в виде задачи оптимизации, построения формальной математической модели; · разработки плана решения оптимизационной задачи; · применения теории о необходимых и достаточных условиях безусловного и условного экстремума; · применения методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения задач; · использования прикладных программ для решения оптимизационных задач.
• Студент должен уметь: - исследовать функцию на выпуклость и вогнутость по определению, по надграфику, по второй производной.

Содержание учебной дисциплины

• Основные понятия в теории экстремальных задач.
• Конечномерные задачи безусловной оптимизации.
• Конечномерные задачи условной оптимизации. Метод множителей Лагранжа.
• Выпуклая задача оптимизации.
• Метод динамического программирования.
• Вариационное исчисление и оптимальное управление.

Элементы контроля

• Экзамен
• Аудиторная работа
  Аудиторная работа состоит из выполнения регулярных мини проверочных работ. Если студент пропустил проверочную работу по уважительной причине (заранее предупредив преподавателя), то преподаватель может предоставить возможность сдать соответствующую тему. Аудиторная работа влияет на выставление автомата.
• ДЗ
  В 1-2 модуле предусмотрено несколько домашних заданий (например, методы численной оптимизации, задача динамического программирования, задача линейного программирования и тп). Оценка за ДЗ вычисляется как среднее арифметическое всех оценок, полученных за домашние задания
• Контрольная работа 1
  «Условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и равенств-неравенств». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно по одному из вариантов.
• Коллоквиум
  Если студент пропустил коллоквиум по уважительной причине, то он может сдать его в дополнительный день.
• Контрольная работа 2
  Проводится по разделу «Вариационное исчисление». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно
• Активность
  Данный элемент контроля включает выполнение дополнительных заданий, которые состоят из теоретических задач по материалам лекций, заданий по дополнительным темам, предложенных студентам для самостоятельного изучения.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.1 * ДЗ + 0.2 * Коллоквиум + 0.15 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Методы оптимальных решений. Т.1: Общие положения. Математическое программирование, , 2010
• Оптимальное управление, Галеев, Э. М., 2008
• Сборник задач по оптимизации : теория, примеры, задачи: задачник для вузов, Алексеев, В. М., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

• A first course in optimization theory, Sundaram, R. K., 2011

Авторы

• Манита Лариса Анатольевна