Бакалавриат
2024/2025
Гладкие многообразия
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
8
Контактные часы:
180
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.
Цель освоения дисциплины
- Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
- Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
- Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
- Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
- Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
- Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
- Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.
Содержание учебной дисциплины
- Кривые и поверхности в R^n
- Определение многообразия
- Касательные пространства и векторные поля
- Дифференциальные формы на R^n
- Дифференциальные формы на многообразиях
- Формула Стокса
- Когомологии де Рама
- Производная Ли
- Векторные расслоения. Тензоры
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
- Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015
Рекомендуемая дополнительная литература
- Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля : учебное пособие / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. — Москва : МЦНМО, 2005. — 584 с. — ISBN 978-5-94057-102-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9379 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Современные геометрические структуры и поля, Новиков, С. П., 2005