Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Бодрова Анна Сергеевна, Петропавловский Сергей Владимирович, Фимина Ксения Игоревна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 148

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс входит в ядро классического математического образования и преподается студентам второго курса в течение всего учебного года. В первой части курса (теория вероятностей) рассматриваются классические темы начиная с аксиоматики и заканчивая предельными теоремами. Относительно большее внимание уделяется условным моментам многомерных случайных величин. Раздел статистики в основном посвящен методам статистического вывода, оставляя относительно легкие вопросы описательной статистики для самостоятельного изучения студентов. Темы, затрагиваемые здесь, традиционны и включают выборочные распределения, точечные и интервальные оценки, тестирование гипотез, модели линейной регрессии. В ходе изложения курса поддерживается определенный баланс между математической строгостью и качественным характером изложения. Иногда эта дилемма разрешается в пользу иллюстрирующих примеров, помогающих студенту ухватить суть идеи и позволяющих применить полученные знания для решения практической задачи, а не концентрироваться на запоминании вывода формул. Тем не менее все основные теоретические конструкции, а также все относительно компактные доказательства приводятся и обсуждаются.

Цель освоения дисциплины

Целью курса является знакомство студентов с аппаратом теории вероятностей и математической статистики и развитие навыков решения практических задач в рамках теоретико-вероятностного и статистического подхода. Дисциплина является базисом для ряда будущих и текущих дисциплин, таких, как "Моделирование систем и процессов", "Машинное обучение" и др.

Планируемые результаты обучения

знать и уметь применять правила комбинаторики для подсчета количества событий, знать и применять аксиомы теории вероятностей для решения задач, включая теоретико-множественный подход
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать и оперировать на практике концепцией условной вероятности, понимать суть независимости событий, уметь пользоваться формулой полной вероятности и формулой Байеса.
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть дискретной случайной величины и способы ее задания в виде распределения, знать свойства функции распределения, уметь рассчитывать моменты произвольного распределения, знать основные виды распределений.
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть непрерывной случайной величины, знать способы ее задания в виде плотности и функции распределения, знать свойства последних, знать основные виды используемых на практике распределений непрерывных величин, особенно нормального
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать способы задания многомерной случайной величины, уметь проводить маржинализацию распределений, получать условные распределения и моменты. Знать и уметь пользоваться формальным определением независимости случайных величин. Уметь рассчитывать корреляцию между парами случайных величин. Уметь выводить и пользоваться выражением для плотности суммы двух независимых величин
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть и уметь использовать на практике закон больших чисел и центральную предельную теорему
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать общий подход к построению распределения параметров распределения и знать их вид для среднего, доли, разности средних и разности долей.
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать принципы построения точечных и интервальных оценок, знать формулу разложения среднеквадратичной ошибки на смещение и разброс, уметь строить доверительные интервалы для различных параметров распределения
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать общий принцип тестирования гипотез, применять его для вывода о параметрах распределения или его вида.
по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать и уметь пользоваться на практике моделями линейной регрессии, включая оценку параметров методом наименьших квадратов и построения соответствующих доверительных интервалов.

Содержание учебной дисциплины

Введение: основы комбинаторики, аксиомы теории вероятностей
Условные вероятности и независимость событий
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Многомерные случайные величины
Предельные теоремы
Предмет и методы статистики
Выборочные распределения
Точечные и интервальные оценки параметров распределения
Тестирование гипотез.
Модели линейной регрессии

Элементы контроля

КР №1,2
среднее по двум КР за модули 1-2
КР №3,4
среднее по КР за модули 3-4
ДЗ за модули 1-2
среднее по ДЗ за 1-2 модули
ДЗ за модули 3-4
среднее за ДЗ за модули 3-4
Активность за модули 1-2
активность за модули 1-2
активность за модули 3-4
экзамен за модули 1-2
экзамен за 3-4 модуль
Итоговая оценка (не чисто экзаменационная, а полная итоговая!) за второй отчетный период (3-4 модули) является блокирующей. То есть если итоговая за второй отчетный период меньше 4, то в финальную ведомость в качестве оценки за весь курс выставляется итоговая оценка за второй отчетный период < 4, а не рассчитанная по формуле среднего, и студент отправляется на пересдачу этой части с последующей коррекцией (по результатам пересдачи) общей оценки за курс. Иначе возможна ситуация с двумя итоговыми, когда 10*0,3+1*0,7 = 4 – проходной балл (с округлением) за весь курс, хотя итог за «тяжелые» 3-4 модули = 1. Это неправильно, такую ситуацию допустить нельзя.

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.05 * Активность за модули 1-2 + 0.15 * ДЗ за модули 1-2 + 0.3 * КР №1,2 + 0.5 * экзамен за модули 1-2
2024/2025 4th module
0.15 * ДЗ за модули 3-4 + 0.3 * КР №3,4 + 0.05 * активность за модули 3-4 + 0.5 * экзамен за 3-4 модуль

Список литературы

Авторы

Петропавловский Сергей Владимирович

Программа дисциплины