Бакалавриат
2024/2025
Математический анализ 2
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
с онлайн-курсом
Онлайн-часы:
20
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
3
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. В рамках данного курса студенты так же познакомятся с рядами Фурье и преобразованием Фурье, которое смогут изучить более подробно в последующих курсах.
Цель освоения дисциплины
- Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
- Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
- Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
- Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности.
- Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства.
Планируемые результаты обучения
- Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
- Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
- Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
Содержание учебной дисциплины
- Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла. Множество лебеговой меры нуль.
- Свойства множеств лебеговой меры нуль. Топология R^n, критерий компактности в R^n.
- Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
- Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу.
- Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству. Критерий Лебега для допустимых множеств.
- Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Формула замены переменных в кратном интеграле Римана.
- Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
- Равномерная сходимость функционального ряда: Критерий Коши, теоремы о предельном переходе, о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости суммы ряда.
- Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости функциналного ряда.
- Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения.
- Евклидовые и нормированные пространства. Основная тригонометрическая система. Ряды Фурье, экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Полные системы. Критерий полноты ОНС, равенство Парсеваля.
- Полнота основной тригонометрической системы. Ядро Дирихле, ядро Фейера, частичная сумма ряда Фурье по Чезаро.
- Теорема Фейера о равномерной сходимости частичных сумм по Чезаро. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
- Лемма Римана. Условие Дини. Теорема о сходимости ряда Фурье в точке. Ряды Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье и его свойства.
Элементы контроля
- Домашнее заданиеВыдается после каждого Семинара и содержит 4-7 задач по теме Семинара.
- КоллоквиумПроходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено.
- Контрольная работа
- ЭкзаменЭкзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5 задач.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd moduleИтог = min(Округление(0.15 * ДЗ + 0.2*КЛ + 0.22 * КР+0.03*Л+0.1*Лаб + 0.35 * Э), 10) где ДЗ = min (10; средняя оценка за все домашние задания + О_сем), О_сем - дополнительный балл в размере 0, 0.5 или 1, который семинарист может высставить студенту за активное участие в работе семинаров, КЛ - оценка за коллоквиум, КР — оценка за контрольную работу, Л - оценка за решение дополнительных задач из листочка, Лаб - оценка за лабороторную работу Э — оценка за экзамен.
