Бакалавриат
2024/2025
Научно-исследовательский семинар "Дополнительные главы алгебры"
Статус:
Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление:
01.03.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
56
Программа дисциплины
Аннотация
1. Бинарные операции и их свойства.
2. Группы. Циклические группы, абелевы группы.
3. Порядок группы и порядок элемента.
4. Подгруппа и ее порядок.
5. Числовые группы Z_n и Z_n^*. Их свойства.
6. RSA кодирование.
7. Неабелева группа диэдра.
8. Методы построения больших групп из меньших: прямые суммы и полупрямые суммы.
9. Группа перестановок S_n. Четные и нечетные перестановки. Группа A_n.
10. Простые группы. Группа A_5 проста.
11. Группы преобразований, орбиты и формула Бернсайда.
12. Правильные многогранники и их группы вращений.
13. Сложение точек на кубической кривой.
14. Кубические кривые над конечными полями и эллиптическое кодирование.
15. Кольца и идеалы.
16. Кольца многочленов и идеалы в этих кольцах. Теорема о базисе.
17. Многообразия. Соответствие идеал-многообразие. Теорема о нулях.
18. Базис Гребнера и решение систем. Примеры.
19. Поля. Расширение полей.
20. Построение конечных полей. 21. Поля алгебраических чисел.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с понятиями теории групп и теории групп преобразований как основы значительной части математического аппарата комбинаторики, теории графов и криптографических схем.
- Знакомство с теорией идеалов в кольцах многочленов — аппаратом решения полиномиальных систем.
- Знакомство с группой точек на кубической кривой — аппаратом эллиптического кодирования.
- Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины.
Планируемые результаты обучения
- Освоить фундаментальные концепции теории групп, включая бинарные операции, группы малых порядков, циклические и абелевы группы. Научиться различать различные типы групп, определять порядок элементов, а также понимать структуру подгрупп и способы построения новых групп с помощью прямых и полупрямых сумм.
- Получить навыки использования групп и полей для решения прикладных задач, таких как RSA-кодирование и эллиптическое кодирование. Научиться применять алгебраические методы для решения геометрических задач с помощью базиса Грёбнера, а также работать с кубическими кривыми над конечными полями, вычисляя порядки элементов в этих группах.
- Научиться использовать формулу Бернсайда для нахождения числа орбит в группах преобразований, а также изучить симметрии правильных многогранников и их группы вращений. Научиться рименять теоретические результаты для анализа симметрий в различных математических и прикладных задачах, таких как перечисление графов.
- Освоить основные свойства колец и идеалов, включая идеалы в кольцах многочленов, и изучат теорему о базисе. Научиться применять эти знания для исследования соответствия между идеалами и многообразиями в контексте теоремы о нулях. Работа с базисом Грёбнера позволит решать системы алгебраических уравнений, что особенно важно в алгебраической геометрии и теории чисел.
Содержание учебной дисциплины
- Бинарные операции, группоиды, изоморфизм группоидов, свойства бинарных операций.
- Группы. Группы малых порядков. Циклические и абелевы группы. Порядок элемента. Автоморфизм.
- Группы Zn и Zn* и их свойства. RSA кодирование
- Прямые суммы и структура групп Zn*. Группа диэдра.
- Группы диэдра и полупрямые суммы. Полупрямые суммы — общий случай.
- Группа S(n). Цикловая запись. Четность. Классы перестановок. Группа S(n) как полупрямая сумма. Простота группы A(5).
- Правильные многогранники и их группы вращений.
- Группы преобразований, орбиты и формула Бернсайда.
- Формула Бернсайда и перечисление графов. Группы вращений.
- Кольца и идеалы. Идеалы в кольцах многочленов. Теорема о базисе.
- Многообразия. Соответствие идеал — многообразие. Теорема о нулях.
- Базис Грёбнера. Решение геометрических задач с использованием базиса Грёбнера.
- Сложение точек на кубической кривой.
- Кубические кривые над конечными полями как конечные абелевы группы. Эллиптическое кодирование.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Алгебра, Ленг, С., 1968
- Курс высшей алгебры : учебник для вузов, Курош, А. Г., 2005
- Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии : учеб. пособие для вузов, Черемушкин, А. В., 2002
Рекомендуемая дополнительная литература
- Эллиптические кривые, Кнэпп, Э., 2004