2024/2025
Основы теории систем и систем управления
Статус:
Майнор
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Преснова Анна Павловна
Язык:
русский
Кредиты:
5
Программа дисциплины
Аннотация
Данный раздел предназначен для формирования знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением. Построение моделей и оптимизация - основные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов в медицине. Рассматриваются основы построения и исследования моделей систем, а также математические методы построения систем управления объектами и процессами на примерах из биологии и медицины. Математическое моделирование процессов и объектов проводится в пакете MATLAB Simulink.
Цель освоения дисциплины
- Формирование знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением
Планируемые результаты обучения
- Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.
- Использование пакета MATLAB Simulink. Анализ динамики переменных в модели развития рака и сахарного диабета, модели иммунной системы человека при ВИЧ. Эпидемиологические модели.
- Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.
- Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов.
- Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Уравнение Ферхюльста. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста. Использование пакета MATLAB Simulink для визуализации динамики моделей. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.
- Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
- Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.
- Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.
Содержание учебной дисциплины
- Введение. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.
- Модели роста популяций.
- Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
- Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка.
- Мультистационарные системы.
- Колебания в биологических системах.
- Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Модели взаимодействия видов.
- Математическое моделирование в медицине.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd module0.25 * Контрольная работа №1 + 0.25 * Контрольная работа №2 + 0.5 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией : учеб. пособие, Афанасьев, В. Н., 1985
- Вся высшая математика. Т.3: Теория рядов; Обыкновенные дифференциальные уравнения; Теория устойчивости, Краснов, М. Л., 2005
- Математическая теория конструирования систем управления : учебник для вузов, Афанасьев, В. Н., 2003
Рекомендуемая дополнительная литература
- Дифференциальные уравнения : учебник, Эльсгольц, Л. Э., 2006