2024/2025





Предвестники переломных моментов в динамике сложных систем
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
3 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Дмитриев Андрей Викторович
Язык:
русский
Кредиты:
4
Программа дисциплины
Аннотация
Для большинства сложных систем, как искусственного так и естественного происхождения, характерно наступления переломных моментов (англ., tipping points) - моментов времени, в окрестности которых зарождаются крупномасштабные и, как правило, необратимые катастрофические изменения. Природа сложных систем в переломных моментах крайне разнообразна: возникновение землетрясений, распространение лесных пожаров, крахи финансовых рынков и зарождение лавин информации в социальных сетях Это далеко не полный перечень явлений, связанных с переломными моментами, и не смотря на все многообразие систем, в которых возможно возникновение переломных моментов, их предвестники идентичны. Своевременная идентификация предвестников приближения к переломному моменту в режиме реального времени позволит, как минимум, минимизировать катастрофические последствия пребывания в переломных моментах или, как максимум, их предотвратить. В данном курсе мы рассмотрим предвестники, основанные на поведении наиболее эффективных пространственно-временных и временных мер раннего обнаружения: от самых простых мер корреляционной теории до мер теории фракталов и теории хаоса. Рассмотрим различие в поведении мер, характерных для бифуркационных переломных моментов, от мер, характерных для переломных моментов, индуцированных шумом. Выделим из этого семейства меры, для которых характерны минимальное количество ложных предвестников и максимальное время для принятия превентивных мер. Рассмотрим поведение мер на уровне стохастической динамики макроскопических параметров системы, например, объём сделок по акциям публичных компаний, число микропостов в онлайновой социальной сети, число заболевших COVID-19). Курс состоит из теоретического материала (лекции) и семинарских занятий (компьютерный практикум в Matlab).
Цель освоения дисциплины
- формирование теоретических знаний по общим методам и подходам к поиску предвестников критических переходов в сложных системах
- выработка умений и практических навыков построения и анализа математических моделей задач поиска предвестников критических переходов в сложных системах различного происхождения
Планируемые результаты обучения
- ознакомление с основными концепциями и подходами к поиску сигналов раннего предупреждения критических переходов в сложных системах
- ознакомление с фундаментальными особенностями динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
- овладение основами построения тестовых моделей самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
- овладение основами вычисления мер корреляционной теории и их применения к поиску предвестников критических переходов
- ознакомление с основами методов вычисления экспоненты Херста и показателя степенного закона для мощности спектральной плотности и их использованию в качестве мер раннего обнаружения критических переходов
- ознакомление с основами метода бестрендового флуктуационного анализа и его применения к оценке экспоненты Херста как меры раннего обнаружения критических переходов
- ознакомление с основами мультифрактального формализма
- ознакомление с основами мультифрактального бестрендового флуктуационного анализа для оценки параметров мультифрактального спектра как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами непрерывного вейвлет-преобразования
- ознакомление с основами метода максимумов модулей непрерывного вейвлет-преобразования и его применения для оценки глобальной экспоненты Гельдера и моментов распределения локальных экспонент Гельдера как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами дискретного вейвлет преобразования
- ознакомления с основами метода лидеров дискретного вейвлет-преобразования и его применения для оценки логарифмических кумулянтов как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами теории хаоса
- ознакомление с основами вычисления мер реконструированного фазового пространства как мер раннего обнаружения критических переходов
Содержание учебной дисциплины
- Предвестники критических переходов: основные концепции и подходы
- Фундаментальные особенности динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
- Тестовые модели самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (I): меры корреляционной теории
- Меры и предвестники критических переходов в стационарных рядах: экспонента Херста и показатель степенного закона для мощности спектральной плотности
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (II): обобщенная экспонента Херста
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (III): параметры мультифрактального спектра
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (IV): глобальная экспонента Гельдра и моменты распределения локальных экспонент Гельдера
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (V): логарифмические кумулянты
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (VI): аппроксимционная энтропия, размерность вложения, корреляционная размерность и экспоненты Ляпунова
Элементы контроля
- Оригинальное исследование
- Вычисление мер раннего предупреждения и анализ эффективности предвестников критических переходов
- Экзамен
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 3rd module0.3 * Вычисление мер раннего предупреждения и анализ эффективности предвестников критических переходов + 0.2 * Оригинальное исследование + 0.5 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Budroni, M. A., Baronchelli, A., & Pastor-Satorras, R. (2016). Scale-free networks emerging from multifractal time series. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.95.052311
- Chandra, T. K., & Gangopadhyay, S. (2018). Introduction to Stochastic Processes. New Delhi: Narosa Publishing House Pvt. Ltd. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=2023979
- Edgar, G. A. (2018). Classics On Fractals. New York, NY: CRC Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=2084163
- Gorain, G. C. (2014). Introductory Course on Differential Equations. New Delhi: Alpha Science Internation Limited. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1878058
- Montgomery, D. C., Jennings, C. L., & Kulahci, M. (2015). Introduction to Time Series Analysis and Forecasting (Vol. Second edition). Hoboken, New Jersey: Wiley-Interscience. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=985114
- Papon, P. The physics of phase transitions. Concepts and Applications / P.Papon, J.Leblond, P.H.E.Meijer. – Springer, 2006
- Pereyra, M. C., & Ward, L. A. (2012). Harmonic Analysis : From Fourier to Wavelets. Providence, R.I.: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=971297
- Rohatgi, V. K., & Saleh, A. K. M. E. (2015). An Introduction to Probability and Statistics (Vol. 3rd edition). Hoboken, New Jersey: Wiley. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1050364
- Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos : With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (Vol. 1st pbk. print). Cambridge, MA: Westview Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=421098
Рекомендуемая дополнительная литература
- . Kuznetsov, Sergey. Strange Nonchaotic Attractors : Dynamics Between Order and Chaos in Qua-siperiodically Forced Systems [Электронный ресурс] / Sergey Kuznetsov, Arkady Pikovsky, and Ul-rike Feudel. – World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2014, . – ISBN: 9789812566331 (Print).
- Bai, Z., & Silverstein, J. W. (2010). Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices (Vol. 2nd ed). New York: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=341481
- Bernt Øksendal. (2010). Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications (Vol. 6th ed. 2003). Springer.
- Borodin, A. (2015). Probabilistic Approach to Ordinary Differential Equations. Journal of Mathematical Sciences, 204(1), 28–41. https://doi.org/10.1007/s10958-014-2184-5
- Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters, & Uwe Hassler. (2013). Introduction to Modern Time Series Analysis. Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.spr.sptbec.978.3.642.33436.8
- Ghahramani, S. (2018). Fundamentals of Probability : With Stochastic Processes (Vol. Fourth edition). Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1875108
- Gregory-Williams, J., & Williams, B. (2004). Trading Chaos : Maximize Profits with Proven Technical Techniques: Vol. 2nd ed. Wiley.
- Grinstead, C. (1997). Introduction to Probability. Place of publication not identified: American Mathematical Society. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsotl&AN=edsotl.OTLid0000021
- Kiki Hudson, Masaya Yamaguti, Masayoshi Hata, & Jun Kigami. (2018). Mathematics of Fractals. [N.p.]: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1790221
- Manshour, P. (2019). Nonlinear Correlations in Multifractals: Visibility Graphs of Magnitude and Sign Series. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsarx&AN=edsarx.1910.13179
- Oliver Knill. (2009). Probability and Stochastic Processes with Applications. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.286BE5CF
- Peña, D., Tiao, G. C., & Tsay, R. S. (2001). A Course in Time Series Analysis. New York: Wiley-Interscience. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=535798
- Sprott, J. C. (2010). Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. New Jersey: World Scientific. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=340752
- Теория фазовых переходов. Строгие результаты, Синай, Я.Г., 1980