2024/2025
Преобразование Фурье и его использование: примеры дискретные и непрерывные
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Хохлов Андрей Владимирович
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
44
Программа дисциплины
Аннотация
"Традиционно в курсе математического анализа упоминают о рядах Фурье и интеграле Фурье.
Множество рассуждений математической физики опирается на спектральные методы, которые также относятся к Фурье анализу.
При этом вычислительные методы широко используют дискретное преобразование Фурье, без быстрой версии которого было бы немыслмо обрабатывать
данные линий связи и вообще развивать цифровые форматы сигналов. В курсе будет показана связь разных версий преобразования Фурье и конкретные примеры их использования в самых разных
задачах: от быстрого перемножения чисел в процессоре компьютера до томографии."
Цель освоения дисциплины
- Сформировать интегральный взгляд на три, внешне различные главы математического анализа, помогающий при разборе примеров из математики и физики.
Планируемые результаты обучения
- Решение задач из списка. Компьютерная реализация
- Решение задач на репараметризацию и вывод разных версий формул
- Умение явно задать и индексировать частоты в полосовом фильтре
- Умение явно вычислять свертки в разных версиях непосредственно и с помощью преобразования Фурье
- Решение задач на использование численных алгоритмов в применении к непрерывным сигналам
- разбор примера с точностью численного интегрирования для гладких функций с (почти) компактным носителем
- несколько классических результатов для точности приближения функций рядами Фурье
- Знакомство с дискретными версиями соотношения неопределенности. Смысл соотношения неопределенности для недискретных функций, связь со статистическими характеристиками распределений.
- Непосредственное вычисление преобразования Радона. Обработка видеообразов.
- Связь исследуемых понятий с численным интегрированием и построением гридов на поверхностях
- Проблемы точности в численной реализации преобразования Радона и обратного к нему. Некорректные задачи и регуляризация по Тихонову.
- Многомерные эффекты и коды исправления ошибок. Примеры
- Объяснение с помощью предельного перехода связи между различными версиями преобразования Фурье
Содержание учебной дисциплины
- Функции на конечной циклической группе, оператор сдвига. Частоты.
- Тождество Фурье и идеи предельного перехода в этом тождестве.
- Полосовая фильтрация цифровых сигналов и эффект Гиббса. Вопросы аппроксимации.
- Симметрии и многомерное преобразование Фурье. Обработка видеообразов.
- Топологические абелевы группы и равномерные последовательности. Двойственность Понтрягина.
- Формулы свертки и быстрые алгоритмы.
- Интегральное преобразование и его связь с дискретизацией непрерывного сигнала. Теорема Котельникова – Шеннона.
- Численное интегрирование и разложения в ряды Фурье.
- Поточечные версии тождества Фурье в недискретном случае.
- Соотношения неопределенности в дискретном и непрерывном случае. Теорема Чеботарева.
- Медицинская томография и ее математическое описание. Преобразование Радона.
- Обращение преобразования Радона и некорректные задачи.
- Примеры из теории информации и теории сигналов.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 3rd moduleОценка выставляется по проценту решений очной контрольной работы, в которую включаются ранее рассмотренные на занятиях и заданные на дом задачи и упражнения
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1: ., Эдвардс, Р., 1985
- Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2: ., Эдвардс, Р., 1985
Рекомендуемая дополнительная литература
- Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики : учеб. пособие для вузов, Кристалинский, Р. Е., 2006