Математические основы квантовой механики

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Пятов Павел Николаевич, Сапонов Павел Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс представляет собой введение в квантовую механику для студентов-математиков, не требующее серьезной базы физических знаний. Квантовая механика является важнейшим инструментом для исследования и описания явлений микромира и в настоящее время входит в обязательный образовательный минимум физиков-теоретиков и специалистов по математической физике. Модели квантовой механики послужили и продолжают служить источником вдохновения в открытии множества общезначимых и красивых конструкций и методов современной математики: в теории представлений групп и алгебр Ли, в функциональном анализе, в деформационном и геометрическом квантовании, теории квантовых групп и др.

Цель освоения дисциплины

Усвоение физических принципов квантовой механики и освоение математического аппарата на примере фундаментальных моделей (одномерное движение, гармонический осциллятор, атом водорода, системы тождественных частиц)

Планируемые результаты обучения

Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.

Содержание учебной дисциплины

Недостаточность классического описания явлений микромира
Основные постулаты канонического (операторного) квантования.
Квантование гармонического осциллятора
Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.
Полный набор наблюдаемых и проблема измерения
Трехмерное движение в центральном поле
Общая теория углового момента
Симметрии квантовых систем и законы сохранения
Квантовая теория тождественных частиц.
Интегрируемые модели квантовой механики.

Элементы контроля

Листок 1. Скобки Пуассона, конечномерные квантовомеханические системы
Вводный листок. Задачи на понимание формализма гамиьлтоновой механики и основных принципов динамики и измерения наблюдаемых в квантовой механике
Листок 2. Гармонический осциллятор. Одномерные квантовые системы
Листок 3. Многомерные квантовые системы: угловой момент и спин, тождественные частицы

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
По темам курса выдается 3 листка с задачами для самостоятельного решения. Задания листков оцениваются по 10-балльной шкале. Для получения оценки 10 достаточно решить примерно 80% задач листка. Накопленная оценка 𝑂накоп — среднее арифметическое оценок за все листки. Если 𝑂накоп ≥ 7, итоговая оценка 𝑂итог получается округлением 𝑂накоп до целого по обычному правилу. В случае, если 𝑂накоп < 7, студент должен сдать экзамен, при этом итоговая оценка определяется по формуле 𝑂итог = 0.5(𝑂накоп + 𝑂экз).

Список литературы

Авторы

Сапонов Павел Алексеевич
Пятов Павел Николаевич

Программа дисциплины