Математический анализ

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Глуцюк Алексей Антонович, Гонцов Ренат Равилевич, Илларионов Андрей Анатольевич, Львовский Сергей Михайлович, Медведев Владимир Олегович, Осипов Павел Сергеевич, Попова Светлана Николаевна, Сивкин Владимир Николаевич, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 11

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).

Цель освоения дисциплины

Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.

Планируемые результаты обучения

Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
Знание леммы Адамара и леммы Морса.
Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.
Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
Умение находить первообразные от стандартных функций.
Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.

Содержание учебной дисциплины

Вещественные числа. Свойства подмножеств $\R$.
Предел последовательности. Подпоследовательности. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Монотонные последовательности.
Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Компактность и секвенциальная компактность.
Предел функции. Непрерывные функции. Разрывы, классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.
Глобальные свойства непрерывных функций.
Монотонные функции.
Элементарные функции. Определения и свойства.
Производные. Дифференциал. Производная сложной функции, производная обратной функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Формула Тейлора. Формулы для остаточного члена. Ряд Тейлора.
Выпуклые функции и их свойства.
Локальный экстремум.
Исследование графиков функций.
Неопределённый интеграл.
Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцирование композиции отображений.
Неявная функция простейший случай.
Знакопеременные ряды. Произведение рядов.
Равномерная сходимость. Теорема Дини. Теорема о перестановке ряда и предела.
Степенные ряды.
Суммирование расходящихся рядов.
Двойные ряды. Бесконечные произведения. Формула для разложения синуса.
Интеграл Римана. Критерий интегрируемости Лебега. Интеграл, как функция верхнего предела.
Теоремы о среднем для интеграла Римана.
Длина кривой. Ориентация на гладкой кривой.
Несобственные интегралы.
Задача об интерполяции.
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Перестановка интегралов, дифференцирование.
Гамма-функция. Бета-функция. Формула Стирлинга.
Дифференцируемость отображений из $\R^{m}$ в $\R^{n}$. Теоремы о среднем (для функций и для отображений).
Принцип сжимающих отображений.
Теорема о неявной функции.
Формула Тейлора для функций многих переменных.
Локальный экстремум. Критические точки.
Диффеоморфизмы. Приведение к каноническому виду, теорема о ранге. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
Лемма Морса.
Поверхность, задача об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.

Элементы контроля

Коллоквиум
Коллоквиум по программе 1-го или 3-го модуля.
Экзамен
Экзамен в форме коллоквиума по программе 2-го/4-го модуля.
Листки домашние
Листки с задачами для самостоятельного домашнего решения с последующей устной сдачей преподавателям или ассистентам.
Контрольные работы
Письменные контрольные работы.

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольные работы + 0.2 * Листки домашние + 0.3 * Экзамен
2024/2025 4th module
Оценка за семестр вычисляется как сумма оценок за экзамен (0.3), коллоквиум (0.25), контрольные работы (0.3 в сумме) и оценки за листки (0.25) с указанными в скобках весами. Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Если полученная по этому правилу оценка больше 10, ставится 10.

Список литературы

Авторы

Красносельский Александр Маркович
Богачев Владимир Игоревич
Шилин Иван Сергеевич
Медведев Владимир Олегович

Программа дисциплины