Бакалавриат
2024/2025![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Математический анализ
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
11
Контактные часы:
208
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).
Цель освоения дисциплины
- Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
- Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.
Планируемые результаты обучения
- Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
- Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
- Знание леммы Адамара и леммы Морса.
- Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
- Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
- Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
- Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
- Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
- Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
- Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
- Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
- Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
- Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
- Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.
- Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
- Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
- Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
- Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
- Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
- Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
- Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
- Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
- Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
- Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
- Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
- Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
- Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
- Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
- Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
- Умение находить первообразные от стандартных функций.
- Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.
Содержание учебной дисциплины
- Вещественные числа. Свойства подмножеств $\R$.
- Предел последовательности. Подпоследовательности. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Монотонные последовательности.
- Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
- Компактность и секвенциальная компактность.
- Предел функции. Непрерывные функции. Разрывы, классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.
- Глобальные свойства непрерывных функций.
- Монотонные функции.
- Элементарные функции. Определения и свойства.
- Производные. Дифференциал. Производная сложной функции, производная обратной функции.
- Основные теоремы дифференциального исчисления.
- Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- Формула Тейлора. Формулы для остаточного члена. Ряд Тейлора.
- Выпуклые функции и их свойства.
- Локальный экстремум.
- Исследование графиков функций.
- Неопределённый интеграл.
- Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцирование композиции отображений.
- Неявная функция простейший случай.
- Знакопеременные ряды. Произведение рядов.
- Равномерная сходимость. Теорема Дини. Теорема о перестановке ряда и предела.
- Степенные ряды.
- Суммирование расходящихся рядов.
- Двойные ряды. Бесконечные произведения. Формула для разложения синуса.
- Интеграл Римана. Критерий интегрируемости Лебега. Интеграл, как функция верхнего предела.
- Теоремы о среднем для интеграла Римана.
- Длина кривой. Ориентация на гладкой кривой.
- Несобственные интегралы.
- Задача об интерполяции.
- Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Перестановка интегралов, дифференцирование.
- Гамма-функция. Бета-функция. Формула Стирлинга.
- Дифференцируемость отображений из $\R^{m}$ в $\R^{n}$. Теоремы о среднем (для функций и для отображений).
- Принцип сжимающих отображений.
- Теорема о неявной функции.
- Формула Тейлора для функций многих переменных.
- Локальный экстремум. Критические точки.
- Диффеоморфизмы. Приведение к каноническому виду, теорема о ранге. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
- Лемма Морса.
- Поверхность, задача об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.
Элементы контроля
- КоллоквиумКоллоквиум по программе 1-го или 3-го модуля.
- ЭкзаменЭкзамен в форме коллоквиума по программе 2-го/4-го модуля.
- Листки домашниеЛистки с задачами для самостоятельного домашнего решения с последующей устной сдачей преподавателям или ассистентам.
- Контрольные работыПисьменные контрольные работы.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd module0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольные работы + 0.2 * Листки домашние + 0.3 * Экзамен
- 2024/2025 4th moduleОценка за семестр вычисляется как сумма оценок за экзамен (0.3), коллоквиум (0.25), контрольные работы (0.3 в сумме) и оценки за листки (0.25) с указанными в скобках весами. Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Если полученная по этому правилу оценка больше 10, ставится 10.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Ильин, В. А. Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 1 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 324 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-07067-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/452409 (дата обращения: 28.08.2023).
- Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
Рекомендуемая дополнительная литература
- Ильин, В. А. Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 2 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 315 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-07069-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/452410 (дата обращения: 28.08.2023).
- Ильин, В. А. Математический анализ в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 3-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 324 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-09085-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/450170 (дата обращения: 28.08.2023).