Магистратура 2024/2025

Приложения теории операторов и функционального анализа

Статус: Курс обязательный (Системный анализ и математические технологии)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Волкова Татьяна Викторовна, Лебедев Владимир Владимирович

Прогр. обучения: Системный анализ и математические технологии

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин (вариативная часть). Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках следующих курсов: «Математический анализ», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Теория функций комплексной переменной», «Функциональный анализ». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: знание курса «Математический анализ» в полном объеме; знание курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» в части, касающейся теории линейных пространств и теории матриц; знание курса «Теория функций комплексной переменной» в части, касающейся рядов Тейлора и Лорана; предполагается, что студенты знакомы с разделами «Сравнение множеств» и «Элементы теории функций» в объёме бакалаврского курса функционального анализа, читающегося в МИЭМ; при необходимости эти разделы осваиваются студентом самостоятельно. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: «Принципы построения математических моделей»; «Стохастические методы»; «Математическое моделирование систем».

Цель освоения дисциплины

• Углублённое изучение основ теории функций и функционального анализа с применением в анализе Фурье и его приложениях.

Планируемые результаты обучения

• Студент должен знать основные положения теорий меры и интегрирования; теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств; теорию линейных функционалов и линейных операторов, а также основы анализа Фурье, включая теорию функциональных пространств и операторов, связанных с преобразованием Фурье.
• Студент должен иметь навыки (приобрести опыт) использования стандартных методов функционального анализа и анализа Фурье и их применения к решению теоретических и прикладных задач.
• Студент должен уметь применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач и задач математического моделирования.

Содержание учебной дисциплины

• Сравнение множеств
• Элементы теории функций
• Метрические, нормированные и евклидовы пространства
• Линейные непрерывные функционалы и операторы
• Преобразование Фурье
• Функциональные пространства
• Операторы в функциональных пространствах

Элементы контроля

• Коллоквиум
  На коллоквиуме проверяется умение студента формулировать основные определения курса и умение формулировать основные утверждения курса без доказательств.
• Домашнее задание
  Домашнее задание подразумевает решение стандартных задач по материалу курса (на основе знания теории), требующих продолжительного времени для их решения.
• Экзамен
  Форма экзамена – устная. На экзамене даётся два теоретических вопроса и две задачи, оценка выводится как среднее арифметическое. Экзамен является блокирующим.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 4th module
  0.25 * Домашнее задание + 0.25 * Коллоквиум + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Ортогональные ряды, Кашин, Б. С., 1984
• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Задачи по функциональному анализу, Бородин, П. А., 2017
• Теоремы и задачи функционального анализа : учеб. пособие для вузов, Кириллов, А. А., 1979
• Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1965

Авторы

• Лебедев Владимир Владимирович