Геометрия и линейная алгебра

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Кириченко Валентина Алексеевна, Левин Андрей Михайлович, Маршалл Йен Донен, Сонина Александра Константиновна, Шварцман Осип Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 11

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Освоение дисциплины «Геометрия и линейная алгебра» является необходимым пререквизитом для большинства курсов, читаемых на факультете математики. В первую очередь к ним относятся курсы алгебры и анализа второго года обучения, анализ на многообразиях и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория представлений, алгебраическая и дифференциальная топология, алгебраическая и дифференциальная геометрия и целый ряд других фундаментальных и прикладных курсов.

Цель освоения дисциплины

Целью изучения дисциплины является освоение основ линейной и матричной алгебры, их вычислительных и теоретических методов, а также воспитание геометрической интуиции и приобретение опыта работы с геометрическими фигурами в многомерных евклидовых, аффинных и проективных пространствах, в эллиптических пространствах и пространствах Лобачевского.

Планируемые результаты обучения

Умение решать задачи на взаимное расположение прямых и точек в двумерном аффинном пространстве, решать системы линейных уравнений размера 2x2 по правилу Крамера, пользоваться барицентрическими координатами и центрами тяжести

Содержание учебной дисциплины

Векторное пространство k^2
Евклидова плоскость = комплексная прямая.
Линейные и аффинные преобразования плоскости, дифференциал аффинного преобразования.
Определение и примеры векторных пространств.
Подпространства.
Линейные отображения, размерность ядра и образа, непустые слои являются сдвигами ядра.
Матричная запись и различные геометрические интерпретации систем линейных уравнений и их решений.
Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах.
Объём ориентированного параллелепипеда, полилинейные кососимметричные и знакопеременные формы, пространство кососимметричных $n$-лилинейных форм на $n$-мерном пространстве одномерно.
Евклидовы пространства.
Ортогональные преобразования и движения, описание движений плоскости и трёхмерного пространства.
Собственные векторы и собственные подпространства линейных операторов.
Одновременная диагонализация произвольного множества коммутирующих операторов, общие собственные векторы коммутирующих операторов.
Билинейные формы, их корреляции и матрицы Грама, преобразование матрицы Грама при замене базиса.
Ортогонализация симметричной билинейной формы над произвольным полем, специализации над полями R, C и F(p).
Кососимметричные билинейные формы.
Проективные пространства и проективизация, однородные координаты, аффинные карты и локальные аффинные координаты.
Симметрическая агебра векторного пространства и задание фигур однородными уравнениями, проективное замыкание аффинной гиперповерхности.
Группа PGL(V).
Геометрия гладких проективных квадрик.
Пространство квадрик, гладкие точки и касательное пространство к гиперповерхности особых квадрик, пучки квадрик, коранг особой квадрики пучка не меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
Конформная теория коник на евклидовой плоскости.
Аффинные пространства.
Выпуклая геометрия в R^n.
Евклидова геометрия квадрик в R^n.
Эллиптическое пространство E = P(V).
Пространство Лобачевского L⊂ P(V)$, где V — вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1, n), состоит из точек с положительным скалярным квадратом.
Конформная модель гиперболического пространства в шаре.
Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.

Элементы контроля

Векторное пространство. Линейная независимость
Матрицы и определители
Линейные операторы
Нильпотентные операторы
Теорема Жордана
Аналитическая геометрия плоскости и трехмерного пространства
Аффинные пространства
Выпуклая геометрия аффинного пространства
Элементы проективной геометрии
Экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.2 * Векторное пространство. Линейная независимость + 0.3 * Линейные операторы + 0.2 * Матрицы и определители + 0.1 * Нильпотентные операторы + 0.2 * Теорема Жордана
2024/2025 4th module
0.1 * Аналитическая геометрия плоскости и трехмерного пространства + 0.2 * Аффинные пространства + 0.2 * Выпуклая геометрия аффинного пространства + 0.3 * Экзамен + 0.2 * Элементы проективной геометрии

Список литературы

Авторы

Амбург Наталья Яковлевна
Городенцев Алексей Львович
Басалаев Алексей Андреевич
Шварцман Осип Владимирович

Программа дисциплины