Бакалавриат 2024/2025

Линейная алгебра и геометрия (углубленный курс)

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Зайцева Юлия Ивановна, Игнатьев Михаил Викторович, Трушин Антон Николаевич, Трушин Дмитрий Витальевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Программа дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра является базовым инструментом используемым наравне с математическим анализом во всех прикладных дисциплинах. Курс развивает абстрактное математическое мышление с одной стороны и знакомит с мощными инструментами, применяемыми в машинном обучении, обработке сигналов и других областях компьютерных наук.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
• Формирование у студентов навыков структурного математического мышления (на котором сейчас базируются все парадигмы языков программирования)
• Формирование у студентов навыков использования линейной алгебры прикладных задачах, в томчисле экономических, геометрических, задачах обработки сигналов и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках

Планируемые результаты обучения

• Знать альтернативу Фредгольма
• Знать геометрический смысл индексов инерции
• Знать геометрическую интерпретацию кратности корня минимального и характеристического многочленов
• Знать две конструкции для поля комплексных чисел
• Знать двойственность для подпространств для невырожденной билинейной формы
• Знать доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел
• Знать и уметь выполнять все матричные оператции
• Знать какие характеристики матрицы билинейной формы зависят от базиса, а какие нет
• Знать классификацию СЛУ..........................
• Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
• Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторых пространств в разных парах базисов
• Знать критерий невырожденности матриц
• Знать лемму о стабилизации для линейных операторов
• Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
• Знать определение векторного пространства, умение привести примеры векторных пространств
• Знать определение и уметь находить спектр матрицы
• Знать определение и формулы для вычисления векторного произведения
• Знать определение матричной нормы
• Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
• Знать определение проективного пространства, подпространства и гиперповерхности
• Знать определение репера и уметь пересчитывать координаты вектора в разных реперах
• Знать определение ядра и образа линейного отображения и связь их размерностей
• Знать понятие комплексификации и связи характеристик оператора при комплексификации
• Знать применение проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках
• Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
• Знать связь инвариантных подпространств с углом нулей в матрице оператора
• Знать способы вычисления размеров клеток в ЖНФ по матрице оператора
• Знать три определения для определителя: (1) явная формула, (2) через полилинейные свойства, (3) через умножение матриц
• Знать утверждение о том, сколько каких многообразий проходит через k+1 точку
• Знать формулировку теоремы о вещественной ЖНФ
• Знать формулу для проектора и ортопроектора
• Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
• Знать формулы для смешенного произведения и его связь с векторным произведением
• Знать явную формулу для обратной матрицы
• Знать, когда существует скалярное произведение, чтобы заданный оператор стал движением или самосопряженным
• Умение находить блочную структуру матрицы линейного отображения связанную с разложением пространств в прямую сумму
• Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
• Уметь вычислять матрицу линейного отображения, знать формулы замены матрицы при смене базиса
• Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
• Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
• Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
• Уметь вычислять следующие характеристики линейных отображений: след, определитель, характеристический и минимальный многочлены, спектр
• Уметь диагонализировать симметрическую билинейную форму следующими методами: симметричный гаусс, лагранж, якоби
• Уметь диагонализировать эрмитовы и косоэрмитовы формы
• Уметь задавать линейные подмногообразия двумя способами
• Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
• Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
• Уметь находить SVD (в разных вариациях)
• Уметь находить базис векторного пространства, проверять является ли данная система базисом, выделять базис из заданной системы
• Уметь находить двойственны базис в сопряженном пространстве
• Уметь находить жорданов базис согласованный с ЖНФ для линейного оператора
• Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
• Уметь находить матрицу билинейной формы в заданных базисах
• Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
• Уметь находить собственные значения и векторы
• Уметь находить собственные и корневые подпространства
• Уметь определять вид квадратичной поверхности
• Уметь определять ЖНФ для линейного оператора
• Уметь определять когда две матрицы задают один и тот же линейный оператор в разных базисах
• Уметь определять когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму в разных базисах
• Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
• Уметь определять положительную определенность эрмитовой формы
• Уметь определять сигнатуру симметрической билинейной формы над полем вещественных чисел
• Уметь определять сигнатуру эрмитовых форм
• Уметь пересчитывать матрицу билинейной формы в новых базисах
• Уметь переходить от однородных координат к аффиным и наоборот (когда это возможно)
• Уметь пользоваться поляризационной формулой
• Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
• Уметь пользоваться формулой разложения по строке/столбцу определителя
• Уметь приводить движение к каноническому виду
• Уметь приводить самосопряженный оператор к каноническому виду
• Уметь приводить симметрическую форму к главным осям
• Уметь применять формулы Крамера
• Уметь проверять является ли билинейная форма скалярным произведением
• Уметь проводить ортогонализацию Грама-Шмидта
• Уметь раскладывать перестановки в независимые циклы
• Уметь раскладывать пространство в прямую сумму корневых подпространств над полем комплексных чисел
• Уметь распознавать вид взаимного расположения линейных подмногообразий и находить расстояния и углы между ними, когда это имеет смысл
• Уметь решать задачу о низкоранговом приближении
• Уметь решать переопределенные системы методом наименьших квадратов
• Уметь решать СЛУ и ОСЛУ методом Гаусса
• Уметь сводить задачи о 3-х, 2-х и 1-о мерных пространствах к фактам из школьной геометрии
• Уметь строить изофорфизм между билинейными формами и операторами
• Уметь строить линейные отображения двумя способами: с помощью базиса и с помощью матриц

Содержание учебной дисциплины

• Системы линейных уравнений
• Поля
• Перестановки и определитель
• Векторные пространства
• Линейные отображения
• Линейные операторы
• Линейные операторы и ЖНФ
• Функционалы
• Операторы в Евклидовых и Эрмитовых пространствах
• Билинейные формы
• Матрицы
• Евклидовы пространства
• Полуторалинейные формы
• Аффинная геометрия

Элементы контроля

• Контрольная 2
• Домашние задания 2
• Работа на семинаре 2
• Коллоквиум 2
• Экзамен 2
  Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
• Контрольная 1
• Домашние задания 1
• Работа на семинаре 1
• Коллоквиум 1
• Экзамен 1
  Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.175 * Домашние задания 1 + 0.25 * Коллоквиум 1 + 0.175 * Контрольная 1 + 0.1 * Работа на семинаре 1 + 0.3 * Экзамен 1
• 2024/2025 4th module
  Оитоговая = min(10; 0,35*Оэкз + 0,22*Околл + 0,15*Окр + 0,15Одз +0,15*Осем), где Оэкз - оценка за экзамен, Околл - оценка за коллоквиум, Окр - оценка за контрольную работу, Одз - оценка за домашние задания, Осем - оценка за работу на семинарах.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
• Сборник задач по алгебре, Аржанцев, И. В., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

• Алгебра и аналитическая геометрия. Т.2, Ч.1: Теоремы и задачи, Ким, Г. Д., 2003
• Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 2003

Авторы

• Гайфуллин Сергей Александрович
• Сысоева Алевтина Александровна
• Зайцева Юлия Ивановна
• Шафаревич Антон Андреевич
• Авдеев Роман Сергеевич
• Смирнов Сергей Валерьевич
• Аланов Айбек -
• Оруджева Альбина Александровна
• Трушин Дмитрий Витальевич