• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2024/2025

Линейная алгебра и геометрия (углубленный курс)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 10
Контактные часы: 136

Программа дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра является базовым инструментом используемым наравне с математическим анализом во всех прикладных дисциплинах. Курс развивает абстрактное математическое мышление с одной стороны и знакомит с мощными инструментами, применяемыми в машинном обучении, обработке сигналов и других областях компьютерных наук.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
  • Формирование у студентов навыков структурного математического мышления (на котором сейчас базируются все парадигмы языков программирования)
  • Формирование у студентов навыков использования линейной алгебры прикладных задачах, в томчисле экономических, геометрических, задачах обработки сигналов и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать альтернативу Фредгольма
  • Знать геометрический смысл индексов инерции
  • Знать геометрическую интерпретацию кратности корня минимального и характеристического многочленов
  • Знать две конструкции для поля комплексных чисел
  • Знать двойственность для подпространств для невырожденной билинейной формы
  • Знать доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел
  • Знать и уметь выполнять все матричные оператции
  • Знать какие характеристики матрицы билинейной формы зависят от базиса, а какие нет
  • Знать классификацию СЛУ..........................
  • Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
  • Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторых пространств в разных парах базисов
  • Знать критерий невырожденности матриц
  • Знать лемму о стабилизации для линейных операторов
  • Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
  • Знать определение векторного пространства, умение привести примеры векторных пространств
  • Знать определение и уметь находить спектр матрицы
  • Знать определение и формулы для вычисления векторного произведения
  • Знать определение матричной нормы
  • Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
  • Знать определение проективного пространства, подпространства и гиперповерхности
  • Знать определение репера и уметь пересчитывать координаты вектора в разных реперах
  • Знать определение ядра и образа линейного отображения и связь их размерностей
  • Знать понятие комплексификации и связи характеристик оператора при комплексификации
  • Знать применение проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках
  • Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
  • Знать связь инвариантных подпространств с углом нулей в матрице оператора
  • Знать способы вычисления размеров клеток в ЖНФ по матрице оператора
  • Знать три определения для определителя: (1) явная формула, (2) через полилинейные свойства, (3) через умножение матриц
  • Знать утверждение о том, сколько каких многообразий проходит через k+1 точку
  • Знать формулировку теоремы о вещественной ЖНФ
  • Знать формулу для проектора и ортопроектора
  • Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
  • Знать формулы для смешенного произведения и его связь с векторным произведением
  • Знать явную формулу для обратной матрицы
  • Знать, когда существует скалярное произведение, чтобы заданный оператор стал движением или самосопряженным
  • Умение находить блочную структуру матрицы линейного отображения связанную с разложением пространств в прямую сумму
  • Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
  • Уметь вычислять матрицу линейного отображения, знать формулы замены матрицы при смене базиса
  • Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
  • Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
  • Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
  • Уметь вычислять следующие характеристики линейных отображений: след, определитель, характеристический и минимальный многочлены, спектр
  • Уметь диагонализировать симметрическую билинейную форму следующими методами: симметричный гаусс, лагранж, якоби
  • Уметь диагонализировать эрмитовы и косоэрмитовы формы
  • Уметь задавать линейные подмногообразия двумя способами
  • Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
  • Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
  • Уметь находить SVD (в разных вариациях)
  • Уметь находить базис векторного пространства, проверять является ли данная система базисом, выделять базис из заданной системы
  • Уметь находить двойственны базис в сопряженном пространстве
  • Уметь находить жорданов базис согласованный с ЖНФ для линейного оператора
  • Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
  • Уметь находить матрицу билинейной формы в заданных базисах
  • Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
  • Уметь находить собственные значения и векторы
  • Уметь находить собственные и корневые подпространства
  • Уметь определять вид квадратичной поверхности
  • Уметь определять ЖНФ для линейного оператора
  • Уметь определять когда две матрицы задают один и тот же линейный оператор в разных базисах
  • Уметь определять когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму в разных базисах
  • Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
  • Уметь определять положительную определенность эрмитовой формы
  • Уметь определять сигнатуру симметрической билинейной формы над полем вещественных чисел
  • Уметь определять сигнатуру эрмитовых форм
  • Уметь пересчитывать матрицу билинейной формы в новых базисах
  • Уметь переходить от однородных координат к аффиным и наоборот (когда это возможно)
  • Уметь пользоваться поляризационной формулой
  • Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
  • Уметь пользоваться формулой разложения по строке/столбцу определителя
  • Уметь приводить движение к каноническому виду
  • Уметь приводить самосопряженный оператор к каноническому виду
  • Уметь приводить симметрическую форму к главным осям
  • Уметь применять формулы Крамера
  • Уметь проверять является ли билинейная форма скалярным произведением
  • Уметь проводить ортогонализацию Грама-Шмидта
  • Уметь раскладывать перестановки в независимые циклы
  • Уметь раскладывать пространство в прямую сумму корневых подпространств над полем комплексных чисел
  • Уметь распознавать вид взаимного расположения линейных подмногообразий и находить расстояния и углы между ними, когда это имеет смысл
  • Уметь решать задачу о низкоранговом приближении
  • Уметь решать переопределенные системы методом наименьших квадратов
  • Уметь решать СЛУ и ОСЛУ методом Гаусса
  • Уметь сводить задачи о 3-х, 2-х и 1-о мерных пространствах к фактам из школьной геометрии
  • Уметь строить изофорфизм между билинейными формами и операторами
  • Уметь строить линейные отображения двумя способами: с помощью базиса и с помощью матриц
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Системы линейных уравнений
  • Поля
  • Перестановки и определитель
  • Векторные пространства
  • Линейные отображения
  • Линейные операторы
  • Линейные операторы и ЖНФ
  • Функционалы
  • Операторы в Евклидовых и Эрмитовых пространствах
  • Билинейные формы
  • Матрицы
  • Евклидовы пространства
  • Полуторалинейные формы
  • Аффинная геометрия
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная 2
  • неблокирующий Домашние задания 2
  • неблокирующий Работа на семинаре 2
  • неблокирующий Коллоквиум 2
  • неблокирующий Экзамен 2
    Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
  • неблокирующий Контрольная 1
  • неблокирующий Домашние задания 1
  • неблокирующий Работа на семинаре 1
  • неблокирующий Коллоквиум 1
  • неблокирующий Экзамен 1
    Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2024/2025 2nd module
    0.175 * Домашние задания 1 + 0.25 * Коллоквиум 1 + 0.175 * Контрольная 1 + 0.1 * Работа на семинаре 1 + 0.3 * Экзамен 1
  • 2024/2025 4th module
    Оитоговая = min(10; 0,35*Оэкз + 0,22*Околл + 0,15*Окр + 0,15Одз +0,15*Осем), где Оэкз - оценка за экзамен, Околл - оценка за коллоквиум, Окр - оценка за контрольную работу, Одз - оценка за домашние задания, Осем - оценка за работу на семинарах.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
  • Сборник задач по алгебре, Аржанцев, И. В., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Алгебра и аналитическая геометрия. Т.2, Ч.1: Теоремы и задачи, Ким, Г. Д., 2003
  • Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 2003

Авторы

  • Гайфуллин Сергей Александрович
  • Сысоева Алевтина Александровна
  • Зайцева Юлия Ивановна
  • Шафаревич Антон Андреевич
  • Авдеев Роман Сергеевич
  • Смирнов Сергей Валерьевич
  • Аланов Айбек -
  • Оруджева Альбина Александровна
  • Трушин Дмитрий Витальевич