Бакалавриат
2024/2025![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Математика
Статус:
Курс обязательный (Управление цепями поставок и бизнес-аналитика)
Направление:
38.03.02. Менеджмент
Кто читает:
Кафедра высшей математики
Где читается:
Высшая школа бизнеса
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Кийков Сергей Ортабаевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
96
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина «Математика» читается студентам первого курса образовательной программы «Логистика и управление цепями поставок». В ходе изучения курса решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов экономических специальностей. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Цель освоения дисциплины
- Целями освоения дисциплины «Математика» являются формирование у слушателей высокой математической культуры, овладение основными знаниями по математике, необходимыми в практической экономической деятельности, развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений, ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области экономики и менеджмента. Для реализации поставленной цели в ходе изучения курса «Математика» решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов экономических специальностей. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Планируемые результаты обучения
- знать и уметь использовать математический аппарат для решения прикладных задач экономики и управления;
- иметь представление о математическом моделировании простейших экономических проблем и содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты их решений;
- овладеть навыками самостоятельной работы и постоянно пополнять свой уровень знаний в свете современных тенденций развития математического инструментария для решения экономических задач.
- Знать: определение, обозначение и формы записи матрицы; понятие равных матриц; виды матриц; свойства операций над матрицами; определение эквивалентных матриц; определение линейной комбинации строк (столбцов) матрицы; определение линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы.
- Уметь: выполнять операции над матрицами (умножение матрицы на число; сложение и вычитание матриц; умножение матриц друг на друга; возведение матрицы в целую положительную степень; транспонирование матрицы); находить многочлен от матрицы; проводить элементарные преобразования матриц; приводить матрицу к ступенчатому виду.
- Владеть: навыками применения операций к матрицам, проведения элементарных преобразований строк (столбцов) матриц и приведения матриц к ступенчатому виду.
- Знать: определение и обозначение определителей первого, второго, третьего порядков и n-го порядков; правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка; свойства определителей; определения минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы.
- Уметь: вычислять определители второго и третьего порядков; находить минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы; вычислять определитель любого порядка разложением по строкам и столбцам, а также с помощью элементарных преобразований строк и столбцов определителя.
- Владеть: методами вычисления определителей любого порядка.
- Знать: определения минора k-го порядка произвольной матрицы и базисного минора; определение базисных строк и столбцов, условие их независимости; определение ранга матрицы и его свойства; определение окаймляющего минора.
- Уметь: находить базисные миноры матрицы; находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований.
- Владеть: методами вычисления ранга матрицы.
- Знать: определения невырожденной, присоединённой матриц и обратной матриц; условия существования и единственности обратной матрицы и её свойства; некоторые виды матричных уравнений, условия существования и единственности решения простейших матричных уравнений.
- Уметь: находить обратную матрицу с помощью формулы и с помощью элементарных преобразований; находить решения матричных уравнений.
- Владеть: методами нахождения обратной матрицы; навыками решения матричных уравнений.
- Знать: определение системы линейных алгебраических уравнений, формы её записи, составляющие системы, виды систем; критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорему Кронекера – Капелли); способ решения квадратной системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода обратной матрицы (или матричного метода); способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью правила Крамера.
- Уметь: определять основную и расширенную матрицы системы; представлять систему в матричной форме; применять теорему Кронекера – Капелли при исследовании систем; применять метод обратной матрицы (или матричный метод) для нахождения решения системы; находить решение системы по правилу Крамера.
- Владеть: навыками исследования системы линейных алгебраических уравнений на совместность; методом обратной матрицы (или матричным методом) решения системы; навыками решения системы по правилу Крамера.
- Знать: способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса (знать прямой и обратный ходы Гаусса); определения основных (базисных) и свободных неизвестных, общего и частного решений, базисного решения; способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Жордана-Гаусса.
- Уметь: применять методы Гаусса и Жордана-Гаусса для исследования системы и нахождения её решения.
- Владеть: навыками решения системы методами Гаусса и Жордана-Гаусса.
- Знать: определение однородной системы линейных алгебраических уравнений и свойства её решений, определение фундаментальной системы решений однородной системы уравнений, теоремы о видах общих решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений.
- Уметь: находить общее решение однородной системы.
- Владеть: навыками решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.
- Знать: определения арифметического вектора, равенства арифметических векторов и линейные операции над ними, арифметического векторного пространства.
- Уметь: проводить линейные операции над арифметическими векторами; проверять являются ли различные множества арифметическими пространствами.
- Владеть: навыками выполнения линейных операций над арифметическими векторами.
- Знать: определение линейного пространства и его свойства; определение линейной комбинации векторов, определение и свойства линейной зависимости и независимость векторов; определение ранга системы векторов и теорему о ранге; определение базиса линейного пространства; определение разложения вектора по базису; преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
- Уметь: проверять принадлежность различных множеств к линейным пространствам; проверять линейную зависимость и независимость векторов; находить ранг системы векторов; выделять векторы, образующие базис; находить координаты вектора в его разложении по базису; находить координаты вектора в другом базисе.
- Владеть: навыками проверки принадлежности различных множеств к линейным пространствам; навыками проверки линейной зависимости и независимости векторов; навыками нахождения ранга системы векторов, координат вектора в другом базисе.
- Знать: определение евклидова пространства и его свойства, определения длины элемента евклидова пространства, угла между элементами, ортогональности элементов.
- Уметь: проверять принадлежность различных множеств к евклидовым пространствам, ортогональность элементов, находить длину элемента, угол между элементами евклидова пространства.
- Владеть: навыками проверки принадлежности различных множеств к евклидовым пространствам; навыками проверки ортогональности векторов, нахождения длины вектора и угла между векторами.
- Знать: определения собственного вектора и собственного значения матрицы, характеристическое уравнение матрицы и свойства собственных векторов.
- Уметь: составлять характеристическое уравнение для вычисления собственных значений и составлять однородные системы уравнений для вычисления собственных векторов; находить собственные значения и собственные векторы матрицы.
- Владеть: навыками решения задач на нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы.
- Знать: определение квадратичной формы; определения ранга и невырожденности квадратичной формы; канонический вид квадратичной формы; определение знакоопределённости квадратичной формы и критерии для определения её знакоопределённости.
- Уметь: представлять квадратичную форму в матричном виде; определять ранг квадратичной формы и проверять на невырожденность; приводить квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов и методом собственных векторов; исследовать на знакоопределённость квадратичную форму.
- Владеть: методами приведения квадратичной формы к каноническому виду; методами исследования квадратичной формы на знакоопределённость.
- Знать: определения геометрического вектора и его длины, орта вектора, коллинеарности и компланарности векторов; линейные операции над векторами и свойства этих операций, условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной форме; определение проекции вектора на ось и её свойства.
- Уметь: находить длину вектора, орт вектора, устанавливать коллинеарность и компланарность векторов; выполнять линейные операции над векторами; находить проекцию вектора на ось.
- Владеть: навыками нахождения длины вектора, орта вектора, проверки коллинеарности и компланарности векторов, нахождения проекции вектора на ось.
- Знать: определения базиса (в частности, ортонормированного базиса) и координат вектора на прямой, на плоскости и в пространстве, разложения вектора по базису; определения системы координат на прямой, плоскости и в пространстве, радиус-вектора точки, координат точки, формулу для нахождения расстояния между двумя точками; правила линейных операций над векторами в координатной форме, условия коллинеарности и компланарности в координатной форме.
- Уметь: находить координаты вектора в его разложении по базису; оценивать расположение точки и находить расстояние между двумя точками на прямой, плоскости и в пространстве по её координатам; находить координаты линейной комбинации векторов.
- Владеть: навыками нахождения координат вектора в его разложении по базису; навыками нахождения расстояние между двумя точками на прямой, плоскости и в пространстве по её координатам; навыками нахождение координат линейной комбинации векторов.
- Знать: определения направляющих косинусов вектора и их свойства; определение деления отрезка в данном отношении; определение скалярного произведения векторов и его свойства.
- Уметь: находить направляющие косинусы; находить координаты точки, делящей отрезок в данном отношении; вычислять скалярное произведение, находить угол между векторами, проекцию вектора на другой вектор; исследовать векторы на ортогональность.
- Владеть: навыками нахождения направляющих косинусов; навыками вычисления скалярного произведения, угла между векторами, проекции вектора на другой вектор, исследования векторов на ортогональность.
- Знать: определения нормального и направляющего векторов прямой на плоскости; уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой на плоскости; каноническое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой на плоскости; уравнение прямой, проходящей через две данные точки на этой прямой; уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым коэффициентом; нормальное уравнение и уравнение прямой в отрезках.
- Уметь: находить нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости; использовать различные виды уравнений прямой на плоскости при решении задач, определять угловой коэффициент по уравнению прямой, проверять принадлежность точки прямой.
- Владеть: навыками использования различных видов уравнений прямой на плоскости при решении задач.
- Знать: формулу расстояния от точки до прямой, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой, формулу для угла между двумя прямыми на плоскости.
- Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач, находить расстояние от точки до прямой и угол между двумя прямыми на плоскости.
- Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач.
- Знать: определения нормального и направляющих векторов плоскости; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение плоскости в пространстве; уравнение плоскости в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через три различные точки; нормальное уравнение плоскости.
- Уметь: находить нормальный и направляющий векторы плоскости; использовать различные виды уравнений плоскости при решении задач, проверять принадлежность точки плоскости.
- Владеть: навыками использования различных видов уравнений плоскости при решении задач.
- Знать: формулу расстояния от точки до плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях плоскости, формулу для угла между двумя плоскостями.
- Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей при решении задач, находить расстояние от точки до плоскости и угол между двумя плоскостями в пространстве.
- Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух плоскостей при решении задач.
- Знать: определение направляющего вектора прямой в пространстве; канонические уравнение прямой в пространстве; параметрические уравнения прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две данные точки на этой прямой; общие уравнения прямой в пространстве.
- Уметь: находить направляющий вектор прямой в пространстве; использовать различные виды уравнений прямой в пространстве при решении задач, проверять принадлежность точки прямой.
- Владеть: навыками использования различных видов уравнений прямой в пространстве при решении задач.
- Знать: случаи взаимного расположения прямых, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой, формулу для угла между двумя прямыми в пространстве; условия пересечения двух прямых в пространстве, условие скрещивания двух прямых в пространстве.
- Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач, находить угол между двумя прямыми в пространстве.
- Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве при решении задач.
- Знать: случаи взаимного расположения прямых и плоскостей, условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости в пространстве, формулу для угла между прямой и плоскостью в пространстве, условие пересечения прямой и плоскости, условия принадлежности прямой плоскости, условия принадлежности двух прямых одной плоскости.
- Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости при решении задач, определять угол между прямой и плоскостью в пространстве, находить пересечение прямых и плоскостей в пространстве.
- Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости при решении задач.
- Знать: определение функции, способы задания функции, свойства функций; определения предела последовательности и предела функции; определения бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и функций, их свойства; основные теоремы о пределах; виды неопределенностей, возникающие при вычислении пределов, и их раскрытие; теоремы о первом и втором замечательных пределах, следствия из них.
- Уметь: вычислять пределы, используя свойства бесконечно и бесконечно больших последовательностей и функций; вычислять пределы, применяя основные теоремы о пределах; раскрывать неопределенности, возникающие при вычислении пределов; вычислять пределы, используя теоремы о первом и втором замечательных пределах и их следствия.
- Владеть: методами вычисления пределов последовательностей и функций.
- Знать: определения порядков малости функций; таблицу эквивалентных бесконечно малых функций и их свойства.
- Уметь: проводить сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций; применять таблицу эквивалентных бесконечно малых функций и их свойства при вычислении пределов.
- Владеть: навыками сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- Знать: определения непрерывности функции в точке; критерий непрерывности функции в точке; классификацию точек разрыва функции; свойства функций, непрерывных в точке (непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции); определение непрерывности функции на промежутке; свойства функций, непрерывных на отрезке.
- Уметь: исследовать функции на непрерывность.
- Владеть: навыками исследования функций на непрерывность.
- Знать: определение производной функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл; правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций; логарифмическое дифференцирование; производную обратной функции; таблицу производных основных элементарных функций; производную сложной функции; дифференцирование неявно заданной функции; производную функции, заданной параметрически; определение производных высших порядков.
- Уметь: вычислять производные сложных функций, а также функций, заданных неявно и параметрически; выполнять логарифмическое дифференцирование; составлять уравнение нормали и касательной к графику функции в точке.
- Владеть: навыками вычисления производных функций.
- Знать: определение дифференцируемости и дифференциала функции одной переменной; теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши); правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и бесконечность/бесконечность; формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
- Уметь: вычислять дифференциалы сложных функций, а также функций, заданных неявно и параметрически; применять дифференциал к приближенным вычислениям; использовать правило Лопиталя при вычислении пределов; разлагать функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; вычислять пределы с помощью формулы Тейлора.
- Владеть: навыками вычисления дифференциалов функций; навыками нахождения пределов с использованием правила Лопиталя; навыками разложения функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; навыками вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.
- Знать: условия монотонности функций; определения локальных экстремумов функций, необходимое и достаточное условие экстремума; схемы отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке; определения направления выпуклости и точки перегиба графика функции; определения выпуклой функции и теоремы об экстремумах выпуклых функций; определения асимптот кривых; общую схему исследования функций и построения их графиков.
- Уметь: исследовать функции на монотонность и экстремум; исследовать график функции на интервалы выпуклости и точки перегиба; находить уравнения асимптот; проводить полное исследование функции и строить график.
- Владеть: навыками проведения полного исследования функции и построения графика.
- Знать: определения первообразной и неопределённого интеграла, его свойства; таблицу основных неопределенных интегралов; метод непосредственного интегрирования; метод внесения под знак дифференциала; замену переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям неопределённого интеграла; интегрирование простейших рациональных дробей.
- Уметь: находить неопределённые интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, метод внесения под знак дифференциала, замену переменной, интегрирование по частям и разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
- Владеть: методами нахождения неопределённых интегралов.
- Знать: определение определенного интеграла и его свойства; теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу; формулу Ньютона-Лейбница; формулу замены переменной в определённом интеграле; метод интегрирование по частям определённого интеграла; определения несобственных интегралов первого и второго родов; формулы вычисления площади криволинейной трапеции.
- Уметь: вычислять определённые интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, замену переменной, интегрирование по частям и разложение подынтегральной функции на простейшие дроби; вычислять несобственные интегралы; вычислять площадь криволинейной трапеции.
- Владеть: методами вычисления определённых и несобственных интегралов.
- Знать: определение функции нескольких переменных; геометрическую интерпретацию функции двух переменных; определение линии уровня функции двух переменных; определения предела и непрерывности функции нескольких переменных; определения частных производных первого порядка; геометрический смысл частных производных первого порядка функции двух переменных.
- Уметь: составлять уравнения линий уровня; находить частные производные первого порядка функции нескольких переменных.
- Владеть: навыками нахождения частных производных первого порядка функции двух переменных.
- Знать: определение дифференцируемости функций двух переменных; необходимое и достаточные условия дифференцируемости; определения полного и частных дифференциалов функции двух переменных; определение производной по направлению; определение градиента функции и его свойства; определения частных производных и дифференциалов высших порядков.
- Уметь: находить полный дифференциал функции нескольких переменных; находить производную сложной функции; применять полный дифференциал функции двух переменных в приближенных вычислениях; вычислять производную по направлению и градиент; находить частные производные и дифференциалы высших порядков.
- Владеть: навыками нахождения градиента и производной по направлению; навыками нахождения частных производных высших порядков функции двух переменных.
- Знать: определения локальных экстремумов функций нескольких переменных; необходимое условие экстремума; определение критических точек функции нескольких переменных; достаточные условия максимума и минимума.
- Уметь: находить локальные экстремумы функции нескольких переменных.
- Владеть: навыками нахождения локальных экстремумов функции двух переменных.
- Знать: определение условного экстремума функции нескольких переменных; метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума; метод исключения неизвестных для нахождения условного экстремума функции двух переменных; достаточное условие локального условного экстремума.
- Уметь: находить локальные условные экстремумы функции нескольких переменных.
- Владеть: навыками нахождения локальных условных экстремумов функции двух переменных.
- Знать: определения наибольшего и наименьшего значений функций нескольких переменных.
- Уметь: находить наибольшие и наименьшие значения функций нескольких переменных.
- Владеть: навыками нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
Содержание учебной дисциплины
- Матрицы и определители.
- Системы линейных алгебраических уравнений
- Линейные пространства
- Векторная алгебра
- Элементы аналитической геометрии
- Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Интегральное исчисление функции одной переменной
- Функции нескольких переменных, дифференциальное исчисление
- Экстремумы функций нескольких переменных
Элементы контроля
- Тесты 1-3
- Тесты 4-6
- Контрольная работа 2
- Экзамен
- Работа на практическом занятии в первом модуле
- Работа на практическом занятии во втором модуле
- Контрольная работа 1
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd module0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.02 * Работа на практическом занятии в первом модуле + 0.02 * Работа на практическом занятии во втором модуле + 0.09 * Тесты 1-3 + 0.09 * Тесты 4-6 + 0.38 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Красс, М. С. Математика в экономике: математические методы и модели : учебник для бакалавров / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов ; ответственный редактор М. С. Красс. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 541 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-9916-3138-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/426162 (дата обращения: 28.08.2023).
- Красс, М. С. Математика в экономике. Базовый курс : учебник для бакалавров / М. С. Красс. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 470 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-9916-3137-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/426158 (дата обращения: 28.08.2023).
- Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для соц.- упр. специальностей, Логвенков, С. А., 2014
Рекомендуемая дополнительная литература
- Бабайцев В.А., Орел В.Н., Рылов А.А. - Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3-х ч. Ч.2. Математический анализ - Издательство "Финансы и статистика" - 2013 - 368с. - ISBN: 978-5-279-03445-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/28351
- Бабайцев В.А., Пчелинцев С.В., Солодовников А.С. - Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3-х ч. Ч.1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование - Издательство "Финансы и статистика" - 2013 - 256с. - ISBN: 978-5-279-03441-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/28350
- Кремер Н. Ш., Фридман М. Н., Путко Б. А., Тришин И. М. ; Под ред. Кремера Н.Ш. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ 5-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2018 - 909с. - ISBN: 978-5-534-10176-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-dlya-ekonomistov-429649