Математический анализ 1 (углублённый курс)

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Лобанов Сергей Григорьевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Учебная дисциплина «Математический анализ-1» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы; начиная со второго модуля требуются многочисленные сведения из курса «Линейная алгебра». В ней последовательно изучаются основы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. В частности, рассматриваются методы решения задач о безусловных и условных экстремумах, методы исследования выпуклости или вогнутости функций многих переменных, теорема о неявной функции для векторных систем уравнений, теорема об огибающей. Основные положения дисциплины «Математический анализ-1» используются при изучении следующих дисциплин: «Математический анализ-2», «Математика для экономистов», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Знать связь производной и производной по направлению. Уметь применять производные и дифференциалы высших порядков в различным формах записи формулы Тейлора. Уметь искать безусловные и условные экстремумы функций многих переменных. Уметь применять теорему о неявной функции к векторным уравнениям. Знать теоремы об огибающей для безусловных и условных экстремумов. Уметь использовать различные критерии выпуклости или вогнутости функций.
Студенты должны знать определение непрерывности функции в данной точке, локальные свойства непрерывных функций (ограниченность, сохранение знака), свойства непрерывных на отрезке функций (теорема Вейерштрасса). Знать о непрерывности результатов арифметических операций и операции образования композиции, примененных к непрерывным функциям, знать о непрерывности элементарных функций. Уметь применять метод интервалов для решения произвольных неравенств.
Студенты должны знать приложения теоремы об огибающей для экономической интерпретации множителей Лагранжа для некоторых задач экономической теории (теневые цены (shadow price), тождество Роя, лемма Шепарда и другие свойства спроса по Хиксу).
Студенты должны знать различные критерии компактности множеств в конечномерных пространствах и свойства непрерывных на компакте функций. Знать о компактности образа компактного множества и об аналоге теоремы Вейерштрасса для линейно связных компактах, о замкнутости прообраза замкнутого и открытости прообраза открытого множества при непрерывном отображении, о равномерной непрерывности непрерывных на компакте функций.
Студенты должны изучить базовое понятие математического анализа - предел функции по данной базе. Знать основные разновидности баз, общие свойства пределов по базе и многое другое, упомянутое в описании раздела.
Студенты должны получить сведения для продолжения изучения математического анализа. Обозначения для различных числовых множеств. Понятие отображения множеств, образа и прообраза множества при заданном отображении. И еще многие обозначения и понятия, упомянутые в описании раздела.
Студенты должны уметь использовать векторный и координатный способы записи векторных функций. Знать возможности изображение графика, понятия линии и поверхности уровня числовых функций векторного аргумента. Знать связь предела векторной функции с пределами числовых компонентов данной функции. Уметь применять полярные координаты для вычисления пределов функций двух переменных.
Студенты должны уметь строить графики функций с учетом исследования промежутков возрастания или убывания и промежутков выпуклости или вогнутости функций. Искать локальные экстремумы и точки перегиба функций. Применять правило Лопиталя и формулу Тейлора для вычисления пределов. Оценивать точность приближения с помощью Формулы Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Пределы числовых функций
Раздел 1. Пределы числовых функций (окончание)
Раздел 2. Непрерывные числовые функции
Раздел 3. Дифференцируемые числовые функции
Раздел 4. Пределы векторных функций
Раздел 5. Непрерывные векторные функции
Раздел 6 Дифференцируемые векторные функции
Раздел 7. Некоторые приложения многомерного анализа

Элементы контроля

Домашнее задание №1
К сумме усоловных единиц,набранных студентом на письменном экзамене, добавляется слагаемое -1 за каждую из непринятых к моменту начала экзамена задач данного студенту варианта Домашнего задания. Далее полученная сумма служит основанием для итоговой экзаменационной оценки совпадающей с номером промежутка, содержащего итоговую сумму условных единиц, [0;1.5), [1.5;3), [3;4.5), [4,5;5.5), [5,5;6.5), [6,5;7.5), [7,5;8.5), [8,5;0), [9;9.5), [9,5;10].
Контрольная работа №1 в течение 160 минут
Контрольная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания контрольной работы оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. По итогам контрольный работы студент может быть освобожден от решения некоторых из задач 1,2,3,4 экзамена (ставится заранее условная единица за задачу): если сумма условных единиц принадлежит соответственно промежутку [4,5;5,5), [5,5;6,5), [6,5;7,5), [7,5;10].
Письменный экзамен 160 минут
Экзаменационная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. К сумме условных единиц, набранных студентом на письменном экзамене, добавляется слагаемое -1 за каждую из непринятых к моменту начала экзамена задач данного студенту варианта Домашнего задания. Далее полученная сумма служит основанием для итоговой экзаменационной оценки, совпадающей с номером промежутка, содержащего итоговую сумму условных единиц, [0;1.5), [1.5;3), [3;4.5), [4,5;5.5), [5,5;6.5), [6,5;7.5), [7,5;8.5), [8,5;0), [9;9.5), [9,5;10].
Контрольная работа №2 в течении 160 минут
Контрольная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания контрольной работы оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. По итогам контрольный работы студент может быть освобожден от решения некоторых из задач 5,6,7,8 экзамена (ставится заранее условная единица за задачу): если сумма условных единиц принадлежит соответственно промежутку [4,5;5,5), [5,5;6,5), [6,5;7,5), [7,5;10].

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
Экзаменационная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. К сумме условных единиц, набранных студентом на письменном экзамене, добавляется слагаемое -1 за каждую из непринятых к моменту начала экзамена задач данного студенту варианта Домашнего задания. Далее полученная сумма служит основанием для итоговой экзаменационной оценки совпадающей с номером промежутка, содержащего итоговую сумму условных единиц, [0;1.5), [1.5;3), [3;4.5), [4,5;5.5), [5,5;6.5), [6,5;7.5), [7,5;8.5), [8,5;0), [9;9.5), [9,5;10].Экзаменационная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. К сумме условных единиц, набранных студентом на письменном экзамене, добавляется слагаемое -1 за каждую из непринятых к моменту начала экзамена задач данного студенту варианта Домашнего задания. Далее полученная сумма служит основанием для итоговой экзаменационной оценки совпадающей с номером промежутка, содержащего итоговую сумму условных единиц, [0;1.5), [1.5;3), [3;4.5), [4,5;5.5), [5,5;6.5), [6,5;7.5), [7,5;8.5), [8,5;0), [9;9.5), [9,5;10].

Список литературы

Авторы

Лобанов Сергей Григорьевич

Программа дисциплины