Аналитическая теория чисел с элементами геометрии чисел

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Илларионов Андрей Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел, который изучает количественные аспекты различных объектов арифметического происхождения при помощи аналитических методов. Геометрия чисел занимается применением в теории чисел геометрических понятий и методов. В первой части этого курса мы обсудим доказательства таких классических фактов, как асимптотический закон распределения простых чисел и теорема Дирихле о простых в арифметических прогрессиях, а также научимся использовать свойства дзета-функции Римана и метод комплексного интегрирования. Во второй части мы изучим некоторые вопросы, связанные отклонением многомерных последовательностей от равномерного распределения (теорема Рота), а также поймем, как теории чисел может использоваться для приближенных методов (теоретико-числовой метод Коробова).

Цель освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций; основные результаты о распределении простых чисел; методы исследования равномерного распределения последовательностей уметь выводить асимптотические формулы для сумм; получать точные оценки арифметических функций; использовать метод комплексного интегрирования; исследовать вопросы о равномерном распределении последовательностей; владеть навыками получения асимптотических формул и оценок для сумм значений арифметических функций; исследования сложности теоретико-числовых алгоритмов

Планируемые результаты обучения

В результате освоения раздела студент будет знать основные формулы и методы суммирования; свойства теоретико-числовых функций
знать основные результаты о распределении простых чисел
Владение методом комплексного интегрирования в исследовании теоретико-числовых задач
Владеть методом комплексного интегрирования, знать роль дзета-функции в теории чисел
умение исследовать вопросы, связанные с равномерным распределением
владение базовым аппаратом геометрии чисел
владеть теоретико-числовыми методами в приближенном анализе

Содержание учебной дисциплины

Формулы суммирования, средние значения арифметических функций. Функции Мёбиуса и Мангольдта, ряды Дирихле. Проблема круга Гаусса и проблема делителей Дирихле.
Характеры Дирихле и L-функции. Теорема Дирихле о бесконечности множества простых в арифметической прогрессии.
Дзета-функция Римана, распределение простых чисел (оценки Чебышева, постулат Бертрана, асимптотический закон о распределении простых чисел). Алгоритмы распознавания простых чисел (тесты простоты)
Гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Оценка остаточного члена для АЗРП. Теорема Зигеля – Вальфиша*. Уточнение остаточного члена в проблеме делителей Дирихле*.
Теория равномерного распределения, суммы Вейля. Отклонение последовательностей от равно- мерного распределения. Теорема Рота.
Решетки, базис решетки, теорема Минковского о выпуклом теле и ее следствия. Отклонение сеток Коробова от равномерного распределения.
Теоретико-числовые квадратурные формулы Коробова

Элементы контроля

Коллоквиум
Коллоквиум по первому модулю
Экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
min(10, 0.54𝑃+0.6𝐸), где 𝑃 — доля решенных задач из листков, а 𝐸 — оценка за экзамен.

Список литературы

Авторы

Илларионов Андрей Анатольевич

Программа дисциплины