2024/2025
Гладкие структуры на многообразиях
Статус:
Курс по выбору
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Тихомиров Александр Сергеевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Гладкая топология 4-мерных многообразий уникальна в том смысле, что в ней наблюдаются феномены, не имеющие аналогов как в меньших, так и больших размерностях. Так, например, на многих известных топологических 4-мерных многообразиях было найдено бесконечное, а на $\mathbb{R}^4$ даже несчетное, число различных гладких структур. Эти феномены были открыты в 80-ых - 90-ых годах XX в. в работах С.Дональдсона, К.Таубса и целого ряда других геометров в связи с применениями к 4-мерной топологии методов современной дифференциальной геометрии. Эта новая область лежит на стыке глобального анализа и калибровочной теории и связана с понятием функционала Янга-Миллса. Решения уравнений Янга-Миллса - так называемые инстантоны - приводят к новым типам инвариантов гладких структур 4-мерных многообразий. Цель настоящего НИСа - дать введение в инстантоны и показать, как они работают в гладкой 4-мерной топологии.
Цель освоения дисциплины
- Студенты должны приобрести понимание теоретико-калибровочных пространств модулей для 4-мерных многообразий и их применения к построению новых типов инвариантов гладкой структуры на односвязных компактных топологических многообразиях. Это суть полиномиальные инварианты Дональдсона, которые используются для нахождения большого числа различных гладких структур на данном топологическом многообразии.
Планируемые результаты обучения
- Умение строить полиномиальные инварианты Дональдсона гладких 4-многообразий, приводить примеры их применения к неразложимости гладких многообразий и различения гладких структур на данном 4-многообразии.
Содержание учебной дисциплины
- Гладкие структуры на топологических многообразиях.
- Главные и векторные расслоения. Связности.
- Кривизна и характеристические классы.
- Пространство связностей.
- Уравнения Янга – Миллса и пространство модулей.
- Компактность пространства модулей.
- Знакоопределенные формы пересечения.
- Полиномиальные инварианты Дональдсона.
- Теорема о связной сумме.
- Соответствие Кобаяши – Хитчина.
- Гладкие структуры на комплексных алгебраических поверхностях.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd moduleИтоговая оценка вычисляется по формуле 3H + 2E + 0, 5F, где H и E суть до- ля решенных домашних задач и доля решенных задач промежуточного письменного домашнего экзаме- на, вычисленные по формуле [число всех (включая необязательные) решенных задач]⟋[число заданных обязательных задач], а F — оценка по 10-бальной шкале на итоговом устном экзамене.
