2024/2025
Научно-исследовательский семинар "Квантовые группы: структуры, представления и приложения 2"
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
36
Программа дисциплины
Аннотация
Квантовые группы --- обширная и динамично развивающаяся область современной математики, находящаяся на стыке теории ассоциативных алгебр и их представлений, функционального анализа и теории интегрируемых моделей математической физики.
Цель освоения дисциплины
- Освоение студентами R-матричного подхода в теории квантовых матричных алгебр
- Освоение студентами методов построения R-матричных представлений группы кос и приложений R-мтариц в современной математике и матфизике.
- Формулировка и исследование задач, пригодных в качестве тем для курсовых и дипломных работ, а в перспективе и для написания научных работ.
Планируемые результаты обучения
- Освоение R-матричное техники построения характеристических подалгебр и характеристических тождеств в квантовых матричных алгебрах, а также методов исследования структуры характеристических подалгебр.
- Освоение техники спектрального расширения квантовых матричных алгебр. Выяснение списка перспективных направлений исследований в этой области.
- Изучение конструкции гейзенбергова дубля над квантовыми матричными алгебрами, Выяснение геометрического смысла конструкции. Изучение возможностей реализации квантовомеханических моделей цепочек взаимодействующих частиц на гейзенберговом дубле.
- Изучение известных неприводимых представлений группы кос и связанных с ней алгебр Гекке и Бирман-Мураками-Венцля. Выяснение перспективных задач в этой области.
- Изучение процедур построения R-матриц в рамках известных анзацев. Поиск новых R-матриц и исследование связанных с ними инвариантов зацеплений.
- Исследование возможности построения стохастических R-матриц с использованием "degree conserving" анзаца, а также с помощью процедуры "fusion". Построение и изучение связанных с такими R-матрицами моделей стохастических цепочек.
Содержание учебной дисциплины
- Обобщения теоремы Гамильтона – Кэли для различных семейств квантовых матричных алгебр, структура и соотношения для образующих их характеристических подалгебр.
- Спектр квантовых матриц и спектральное расширение квантовых матричных алгебр, применение спектральных расширений в построении представлений этих алгебр. Квазиосцилляторные алгебры.
- Гейзенбергов дубль или алгебра дифференциальных операторов на квантовой группе. Спектральное расширение гейзенбергова дубля. Реализация квантовомеханических моделей на гейзенберговом дубле.
- Неприводимые представления группы кос, а также алгебр Гекке и Бирман – Мураками – Венцля
- 𝑅-матричные представления группы кос. Изучение возможности построения новых семейств 𝑅- матриц в рамках различных анзацев. Вычисление соответствующих инвариантов зацеплений.
- Стохастические 𝑅-матрицы и их применение в построении и исследовании моделей марковских стохастических процессов.
Элементы контроля
- Студент выступает на НИСе с докладом по предложенной ему для самостоятельного разбора теме (материалы научных статей или разделы из современных обзоров-учебников).
- PresentationКраткий письменный обзор по предложенной для самостоятельного разбора теме.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th moduleПри выставлении оценки за курс будет в равных долях учитываться - активное очное участие слушателя в семинарских занятиях; - выступление с докладом на семинаре.
