2024/2025
Группа кос, квантовые группы и приложения
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
В этом курсе мы обсуждаем несколько тем из теории групп кос и теории квантовых групп, в которых появляется и применяется один из самых известных объектов современной математической физики —— так называемая R-матрица. R-матрица в узком понимании этого термина, с которым мы, в основном, и будем иметь дело, —— это решение кубического матричного уравнения Янга-Бакстера, известного также как соотношение Артина, или уравнение кос. Сферы применения R-матриц в настоящее время очень разнообразны: от теории точно решаемых моделей квантовой механики, статистической физики и теории поля до проблем построения инвариантов узлов, структурной теории и теории представлений квантовых матричных алгебр. В курсе мы знакомим слушателей с алгебраическими структурами, порождающими R-матрицы, и обсуждаем различные приложения R-матриц в построении инвариантов узлов, в теории квантовых групп, и в исследовании интегрируемых моделей матфизики: квантовых ]спиновых цепочек и стохастических процессов (см. программу курса). Очень важные для современной теоретической физики приложения R-матриц в теории интегрируемых моделей также обсуждаются в матфизическом спецкурсе “Анзац Бете”.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление слушателей курса с современными методами теории интегрируемых систем, структурной теорией и теорией представлений ассоциативных алгебр, основанными на применении группы кос, алгебр Ивахори-Гекке и их R-матричных представлений.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с различными R-матричными представлениями алгебр Ивахори-Гекке и группы кос. Изучение серий R-матриц Дринфельда-Джимбо и Кулиша-Склянина, а также их мультипараметрических обобщений.
- Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке.
- Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
- Изучение основных свойств пуассоновой алгебры функций, гамильтоновых векторных полей и порождаемых ими потоков. Умение ограничить вырожденные скобки Пуассона на листы слоения, построение симплектической структуры по невырожденной скобке и наоборот. Выяснение роли пуассновых структур на многообразии в задаче деформационного квантования алгебры функций на нем.
- Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
- Освоение артинова (алгебраического) подхода к описанию групп кос в терминах генераторов и соотношений. Изучение различных наборов генераторов группы кос, описание центра группы кос, ознакомление с коммутативным набором элементов Юциса-Мэрфи.
- Освоение критерия полупростоты алгебр Ивахори-Гекке и классификации их неприводимых представлений. Выработка навыков практической работы с неприводимыми представлениями алгебры Гекке в базисе, диагонализующем операторы Юциса-Мэрфи: построение тождеств в подалгебре элементов Юциса-Мэрфи; построение полного набора примитивных идемпотентов; вывод явных формул для матриц артиновых генераторов.
- Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
- Освоение свойств скобки Склянина на алгебре функций на группе и ее выражение через классическую r-матрицу. Построение квантовой версии для случая sl(2), умение проверить плоскость квантования.
- Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины
- Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.
- Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.
- R-матричные представления группы кос.
- Марковский след на алгебре Ивахори–Гекке.
- Понятие об алгебрах Хопфа.
- Квантование пуассоновой алгебры.
- Алгебра функций на группе и ее квантование.
- Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).
- Структура алгебры уравнения отражений.
- Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.
Элементы контроля
- ДЗ 3-го модуляВыдается 3 листка с задачами по темам курса.
- ДЗ 4-го модуляВыдается 3 листка с задачами по темам курса.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th module40% (оценка за промежуточную контрольную), 60% (итоговый письменный экзамен) + 1–2 дополнительных балла за решения задач семинаров.
