Стохастические дифференциальные уравнения и статистика случайных процессов

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс обязательный (Прикладной анализ данных и искусственный интеллект)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент информатики

Где читается: Школа информатики, физики и технологий

Когда читается: 3-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Белопольская Яна Исаевна

Язык: русский

Кредиты: 4

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Данный курс является продолжением курса "Теория случайных процессов в непрерывном времени и основы стохастического анализа" и рассматривает различные классы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и методов их решения, с приложениями к задачам финансовой математики и алгоритмической торговли на финансовых рынках. СДУ являются основным аппаратом, с помощью которого из броуновско движения "порождаются" нетривиальные случайные процессы с различными свойствами.Вначале рассматриваютсся такие классические процессы, как геометрическое броуновское движение, процесс Орштейна-Уленбека и (как обобщение последнего) аффинные процессы, через соответствующие СДУ.Понятие "решения" СДУ существенно отличается от такового для ОДУ, и сводится к нахождению (условных) функций распределения для соответствующих процессов.Основным математическим аппаратом, позволяющим строить такие функции, то есть "мостом" между стохастичечким и летерминированным миром, являются прямое и обратное уравнения А.Н.Колмогорова (также известные как уравнения Фоккера-Планка и Фейнмана-Каца, соответственно). Это -- параболические уравнения в частных производных, свойствам и методам решения которых будет уделено значительное внимание, включая современные асимптотические методы класса "Heat Kernel".Эти же методы позволяют подробно изучать статистические свойства процессов, заданных через СДУ, в том числе для задач алгоритмической торговли на финансовых рынках ("статистический арбитраж").В завершающей части курса будут рассмотрены статистические свойства более сложных процессов -- процессов Леви и дробного броуновскогл движения, играющих большую роль при изучении рынков крипто-активов.

Цель освоения дисциплины

Овладение основными приемами интегрирования СДУ и вывода вероятностных представлений решения краевых задач для УЧП, а также ознакомятся с методами численного решения УЧП с помощью этих представлений