Бакалавриат 2024/2025

Интегральные уравнения в задачах математического моделирования

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Язык: русский

Программа дисциплины

Аннотация

В курсе излагаются основные сведения, которые лежат в основе применения интегральных уравнений в задачах математического моделирования. В рамках лекционной части курса студенты получат теоретическую базу, дающую понимание как сводить задачи математической физики к интегральным уравнениям, анализировать свойства этих уравнений и решать их численно. В рамках курса предусмотрен проект, в ходе которого студент должен решить некоторую задачу математического моделирования с применением аппарата интегральных уравнений. В частности, по результату освоения курса студент, на примере применения метода интегральных уравнений, должен прочувствовать специфику современного математического моделирования в задачах математической физики, которая во многом состоит в умении разбивать решаемую задачу на шаги, последовательно осуществлять реализацию этих шагов, а так же в умении осуществлять анализ получаемых результатов.

Цель освоения дисциплины

• Дать теоретическую базу, которая лежит в основе сведения краевых задач математической физики к интегральным уравнениям, анализа свойств интегральных операторов, входящих в эти уравнения, и построения численных схем решения возникших интегральных уравнений.

Планируемые результаты обучения

• Применять интегральные уравнения в задачах математической физики.
• Знать основные свойства интегралов и интегральных операторов, включая операторы со слабо-, сильно- и гипер- сингулярными интегралами.
• Знать основные численные методы решения интегральных уравнений.
• Знать основные приложения интегральных уравнений к численному решению краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, приложение метода интегральных уравнений к численному решению задач аэродинамики и рассеяния волн.
• Уметь сводить краевые задачи к интегральным уравнениям.
• Уметь решать численно возникающие интегральные уравнения.

Содержание учебной дисциплины

• Интегралы по различным областям интегрирования: интеграл по отрезку, кратные интегралы, криволинейные интегралы, поверхностные интегралы.
• Несобственные интегралы с полярной особенностью.
• Линейные интегральные операторы с интегрируемым ядром. Сингулярный интеграл в смысле главного значения. Гиперсингулярный интеграл.
• Основные интегральные теоремы: Остроградского Гаусса, Стокса. Формулы Грина для дифференциального оператора. Уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Потенциал точечного заряда. Поверхностные потенциалы.
• 3-я формула Грина. Решения однородных уравнений Лапласа и Гельмгольца во внешней области.
• Решение уравнения Пуассона во всем пространстве. Восстановление векторного поля по ротору и дивергенции.
• Понятие краевых значений. Непрерывность потенциала простого слоя/ Краевые значения потенциала двойного слоя. Нормальная производная потенциала простого слоя.
• Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Численные методы решения интегральных уравнений: метод коллокации с кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестной функциеи, метод Галеркина.
• Уравнения Фредгольма, теоремы Фредгольма. Метод коллокации с кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестной функцией. О разбиении области интегрирования на ячейки. О приближенном вычислении интегралов по ячейкам.
• Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Сведение к интегральным уравнениям в случае области с замкнутой границей.
• Численное решение краевых задач в области с замкнутой границей. Задача Дирихле на экране: сведение задачи к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода и его численное решение.
• Задача Неймана для уравнения Лапласа на разрезе: сведение задачи к сингулярному интегральному уравнению, сведение задачи к гиперсингулярному интегральному уравнению.
• Приложение интегральных уравнений к решению задач рассеяния акустических волн в монохроматическом случае
• Приложение интегральных уравнений к решению задач рассеяния электромагнитных волн в монохроматическом случае.

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Письменная работа по темам семинаров 1-6. Проводится в зачетную неделю первого модуля.
• Проект
  Выдается на первой семинаре модуля 2. Сдается на семинарах модуля 2 в форме докладов.
• Экзамен
  Экзамен проходит в устной форме. Студент получает билет, который включает в себя два вопроса из программы экзамена – один вопрос по материалу лекций 1-7 и один вопрос по материалу лекций 8-14. Во время подготовки можно использовать любые материалы. После ответа студенту могут быть заданы дополнительные вопросы по программе курса, а также предложены задачи на понимание теоретического материала. Такие задачи не требуют проведения обширных вычислений.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.3 * Контрольная работа + 0.4 * Проект + 0.3 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Методы численного анализа : учеб. пособие для вузов, Тыртышников, Е. Е., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

• Методы интегральных уравнений в теории рассеяния, Колтон, Д., 1987
• Полянин, А. Д. Справочник по интегральным уравнениям : справочник / А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2278 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Сингулярные интегральные уравнения : граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, Мусхелишвили, Н. И., 1968
• Уравнения математической физики : учебник, Тихонов, А. Н., 2004

Авторы

• Сысоева Алевтина Александровна
• Кононова Елизавета Дмитриевна