Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

Диссертация содержит результаты в теории автоморфных форм, ориентированные на решение задач из теории модулей алгебраических многообразий. Новые автоморфные конструкции, предложенные В.А. Гриценко, позволили ему решить классические проблемы в теории моду-лей поляризованных абелевых и К3 поверхностей.  1) Предложена эффективная конструкция парамодулярных форм Зигеля рода 2, опреде-ляющая модулярную форму по первому коэффициенту Фурье-Якоби. Этот подъем, подъем Гриценко, позволяет строить канонические дифференциальные формы на модулярных многообразиях. Доказано, что геометрический род пространства модулей (1,t)-поляризованных абелевых поверхностей неотрицателен для всех поляризаций, кроме двадцати исключительных значений t. Это дает ответна классический вопрос Зигеля о геометрическом типе пространства модулей поляризованных абелевых поверхностей.      2) Найдет общий автоморфный критерий того, что модулярное многообразие есть многообра-зие общего типа. Доказано, что пространство модулей поляризованных К3 поверхностей сте-пени 2d  имеет общий тип для  сех d>61 и для d = 46, 50, 54, 57, 58, 60. Это решение послед-ней открытой проблемы известной программы Андре Вейля 1957 года  по исследованию K3 поверхностей и их модулей, которая существенно повлияла на развитие современной алгебраической геометрии. 3)  В. Гриценко предложил новое описание автоморфных произведений в терминах модуляр-ных форм Якоби веса 0 от многих переменных. Это дает, в частности,  23 новых конструкции знаменитой рефлективной модулярной формы Ричарда Борчердса, лауреата премии Филдса 1998 года. Новая конструкция устанавливает явные автоморфные соотношения между производящими функциями аффинных алгебр, порожденных системами корней унимодуляных решеток Нимейера, и так называемой «Fake Moster Lie Algеbra» Борчердса. Конструкция автоморфных произведений в одномерных каспах через формы Якоби позволяет строить целые классы новых рефлективных автоморфных форм, важных в алгебраической геометрии и определяющих явные конструкции лоренцевых алгебр Каца-Муди. 4) В середине 1980-x годов были открыты многомерные аналоги К3 поверхностей – неприво-димые голоморфные симплектические многообразия или гиперкэлеровые многообразия.  Теория этих многообразий – одно из активнейших на сегодня направлений в алгебраической геометрии. Автоморфный подход Гриценко к исследованию модулей К3 поверхностей успеш-но применяется и для  исследования модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий. Получены пионерские результаты в этой области. Доказан общий тип пространств модулей поляризованных четырехмерных неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа схем Гильберта длины два на К3 с расщепимой поляризацией степени Богомолова-Бовиля 2d с d>11 и модулей поляризованных десятимерных многообразий О'Грэди для любой расщепимой поляризации степени, отличной от степени двойки.

В данной диссертации доказывается полиномиальность биградуированных алгебр слабых форм Якоби для систем корней типа C_n, D_n и F_4. Помимо этого в работе построены дифференциальные уравнения, связывающие образующие индекса 1 для систем корней C_n и D_n.