Логвенков Сергей Алексеевич

не участвую

РФФИ (проект № 16-01-00504) Континуальное моделирование механически активных клеточных систем

            Разработана континуальная модель эпителиальной ткани, позволяющая описать широкий круг эффектов, наблюдаемых в экспериментах по изучению активной реакции эксплантатов эмбриональных эпителиальных тканей на механическое растяжение. Модель описывает активные реакции плоского слоя клеток эмбрионального эпителия и учитывает активные деформации и переупаковку клеток под действием активных напряжений. Отличительной чертой модели являются соотношения, определяющие развитие активных напряжений, создаваемых сокращением псевдоподий (выростов на поверхности клеток), закрепленных на поверхности соседних клеток. В предлагаемой модели учитывается как влияние отклонения формы клеток от нормальной, и влияние напряжений в местах контакта между клетками, характеризуемых напряжениями в клетках, на развитие активных напряжений, так и присутствие анизотропии клеточной активности, обусловленной поляризацией внутриклеточных структур. Модель описывает переориентацию такой анизотропии посредством механического воздействия, причем влияние такого воздействия на переориентацию имеет пороговый характер. Эти механизмы определяют анизотропию развития активных напряжений в зависимости от напряженно-деформированного состояния среды на клеточном уровне и позволяют описать в рамках разработанной модели при едином наборе числовых параметров совокупность различных экспериментальных явлений. Полученная модель использовалась при решении задачи, описывающей экспериментально изучаемую переориентацию направления естественного удлинения пласта (направления удлинения при отсутствии внешних сил) в направлении внешней силы при условии, если эта сила достаточно велика и ее действие достаточно продолжительно. Результаты численного моделирования демонстрируют, в частности, что время нахождения образца ткани в растянутом состоянии оказывает большее влияние на переориентацию направления естественного вытяжения, чем величина приложенного воздействия. Результаты численного моделирования дают хорошее согласование с данными экспериментов по порядку величин.

                Важным типом морфогенетической деформации является изгибание (инвагинация) эпителиальных пластов. Один из наиболее простых и хорошо изученных примеров – первичная инвагинация при гаструляции у морского ежа. Несмотря на значительный объем наблюдений, конкретные механизмы инвагинации остаются неясными. Решена задача о плосконапряженном деформировании первоначально кругового пласта, внутри которого поддерживается постоянное давление. Действие развиваемых клетками активных усилий характеризуется активным моментом. Реология слоя описывается уравнением вязкоупругости максвеловского типа, которое связывает пассивный изгибающий момент с кривизной слоя. При этом учитывается наличие порогового значения пассивного момента, до достижения которого имеет место только упругий изгиб. Исследовано влияние характера распределения активных сил и моментов на пространственную организацию изгибания клеточного пласта и выбраны распределения, наиболее близко соответствующие конкретным морфогенетическим движениям в эмбриогенезе при гаструляции. Результаты численного решения показали, что из всех рассмотренных вариантов правдоподобная картина изменения форм может быть получена только при вязкоупругом поведении слоя с конечным порогом пассивного изгибающего момента и при знакопеременном распределении стационарного активного момента. Активный момент имеет разный знак во внутренней и периферийной зонах активной области: во внутренней он стремится изогнуть пласт вовнутрь, во внешней – вовне. Проведенное исследование позволяет сделать выводы о характере макроскопической организации инвагинационного процесса, и определить направление исследований с целью выяснения клеточных механизмов способных создать соответствующие усилия.

                Разработана и исследована система уравнений, описывающая поведение трехмерной сплошной среды, состоящей из жидкой фазы (внеклеточной жидкости), клеток, моделируемых собственно клеточной фазой, и дополнительной фазы, отвечающей за независимо управляемое активное силовое взаимодействие между клетками. В частности, эта фаза может соответствовать системе псевдоподий, закрепляющихся на соседних клетках и обеспечивающих развитие активных стягивающих усилий.

            Постулирование определяющего соотношения для активных напряжений основывается на следующих биологических представлениях. Во-первых, клетки мезенхимального типа характеризуются способность к одиночным движениям. При отсутствии внешних воздействий только некоторые остаются неподвижны, тогда как большинство беспорядочно перемещается в свободном пространстве, выдвигая случайным образом мембранные выросты или псевдоподии в разные стороны. При этом покрываемые клетками расстояния достаточно малы, и их движение носит беспорядочный характер. На макроскопическом уровне среднее значение потока импульса хаотического движения частиц через единицу поверхности среды характеризуется соответствующим давлением, проявляющимся в отталкивании частиц.

            Во-вторых, поведение клеток может кардинально меняться под воздействием внешних факторов, таких как градиент концентрации субстрат-связывающих адгезионных молекул. Клетки мигрируют, используя псевдоподии, которые представляют собой выросты переднего края плазматической мембраны, обращенного в сторону движения. Во взрослых организмах псевдоподии различной формы и размеров скрепляют клетку с окружающим матриксом за счет адгезивных контактов, однако на ранних стадиях эмбрионального развития ткани содержат лишь незначительное количество внеклеточного матрикса, и клетки рассматривают соседние клетки как субстрат для прикрепления псевдоподий и последующей миграции. При математическом описании этого механизма развития активных напряжений между клетками предполагается, что постоянно возникающие на поверхности клетки псевдоподии могут прикрепляться к участкам адгезионных контактов, расположенным на поверхности соседних клеток, а участки адгезионных контактов распределены равномерно по поверхности клеток. Тем самым, анизотропия тензора активных напряжений определяется неоднородностью распределения плотности клеток по некоторой сферической поверхности с радиусом, соответствующим характерному размеру псевдоподий (порядка или равным радиусу клетки) и центром в рассматриваемой точке.

            В результате, определяющее соотношение для активных напряжений состоит из двух слагаемых. Первое из них, ответственное за нелинейное активное сопротивление клеточной среды, обусловленное хаотическим поведением клеток, которое обеспечивает невозможность ее слишком большого сжатия, описывается шаровым тензором, определяющим давление. Считается, что оно является функцией объемной плотности клеток, характеризующей степень их сближения, причем эта функция должна неограниченно и нелинейно возрастать с увеличением объемной плотности клеток.             Второе слагаемое имеет смысл напряжений, создаваемых направленными активными сокращениями в псевдоподиях, имеющих прочное прикрепление к поверхности соседних клеток. При определенных предположениях последнее слагаемое может быть сведено к функции объемной плотности клеток (локальное взаимодействие) или функционалу их пространственного распределения объемной плотности (нелокальное взаимодействие).

            Формулировка закона, определяющего скорость деформации среды за счет клеточных переупаковок предполагает, что процесс взаимного перемещения клеток друг относительно друга может управляться двумя физически различными механизмами. Во-первых, под воздействием внешних по отношению к клеткам механических сил, приложенных в местах контакта между ними, может происходить разрыв одних и образование других клеточных контактов с перемещением клеток одна относительно другой (первое слагаемое). Этот процесс контролируется прочностью межклеточных контактов, то есть межклеточной адгезией. В некоторой смысле он аналогичен вязкому течению материала: возникает растяжение ткани в результате смещения одних клеток относительно других, вызванное внешней силой. Однако, этот механизм нельзя считать пассивным, поскольку он сопровождается разрушением одних и образованием других межклеточных контактов. Во-вторых, клетки могут менять соседей в результате развития активных напряжений. Этот процесс можно рассматривать как проявление клеточной подвижности, связанной со способностью клеток распластываться и осуществлять перемещения на субстрате, в данном случае по поверхности соседних клеток (второе слагаемое). Определены параметры, отвечающие за два биологически различных механизма, которые могут независимо управлять клеточными движениями.

            Проведён дисперсионный анализ устойчивости пространственно-однородного стационарного решения в максимально простой, одномерной, постановке. Среди параметров, отвечающих за потерю устойчивости, присутствует гидростатическое давление жидкости, возрастание которого приводит к неустойчивости за счёт составляющей силы межфазного взаимодействия, обусловленной этим давлением. Другие параметры характеризуют механизм потери устойчивости, связанный с процессом активного взаимодействия клеток за счет создаваемых ими активных напряжений и противодействующим процессом расталкивания клеток вследствие их хаотического движения.

            Разработанная модель используется при решении задачи о перераспределении объемной плотности клеток в первоначально пространственно-однородном клеточном агрегате вследствие потери устойчивости стационарного состояния. Такой тип формообразования характерен для процесса бластуляции (одна из ранних стадий развития зародышей многоклеточных животных), в котором сплошное скопление слабо связанных клеток преобразуется в бластулу, внутренние клетки которой раздвигаются в радиальных направлениях, создавая заполненную жидкостью полость. Формирование бластулы с полостью внутри важно не только для финальных стадий развития зародыша (бластоцель становится так называемой первичной полостью тела), но и для нормального прохождения ближайших по времени стадий развития.

            Проведено исследование влияния различных пространственных распределений параметров, характеризующих клеточную адгезию, клеточную подвижность и интенсивность развития активных напряжений на перераспределение объемной плотности клеток в сферически симметричном, первоначально однородном клеточном сфероиде. Исследовано развитие системы после потери устойчивости. Выявлены закономерности распределения клеток и параметров межклеточного взаимодействия, приводящие к формированию как центральной заполненной жидкостью полости, так и более сложных клеточных структур, наблюдаемых в процессе эмбрионального развития.

            В основе согласованного движение больших групп клеток различных типов, дающего начало биологическому формообразованию, лежит понятие клеточной адгезии. Клеточная адгезия является фундаментальным биологическим явлением, проявляющемся в связывание одной клетки с другой посредством поверхностных белков, обеспечивающих прочность скрепления мембран двух соседних клеток. Это понятие клеточной адгезии можно рассматривать как клеточную адгезию в узком смысле. В более широком смысле процесс клеточной адгезии включает в себя и активные межклеточные взаимодействия с участием сократительной активности различных элементов клеточного скелета. Такие взаимодействия могут быть реализованы посредством образования на поверхности клеток выростов различных размеров и формы (псевдоподий), закрепляющихся на поверхности соседних клеток.

            Сформулирована базовая система уравнений для сплошной среды, образованной внеклеточной жидкостью и двумя типами клеток, различающихся своими адгезионными свойствами и характером развития активных напряжений.

            Полученная модель может быть использована при описании закономерностей взаимодействия клеток между собой и с окружающими их внеклеточными компонентами биологической среды, наблюдаемыми в самых различных биологических процессах, таких как формообразование в эмбриональных тканях, заживление повреждений мягких тканей, развитие опухолей, сегрегация клеток различных типов в культуре и многое другое.

            Выполнена серия экспериментов по растяжению целого зародыша шпорцевой лягушки в направлении, перпендикулярном направлению его естественного вытяжения. Исследована роль механозависимых клеточных движений в установлении пространственной организации осевых зачатков в зародышах.

            Разработана методика (основанная на использовании конфокальной микроскопии), позволяющая повысить разрешение измерений и анализировать клеточные движения с использованием алгоритмов автоматического распознавания. Методика позволила получить прижизненные регионспецифичные цейтраферные съёмки движений клеток в эпителии зародышей шпорцевой лягушки на стадии поздней гаструлы. Разработана автоматизированная установка, позволяющая осуществлять контролируемое двухосное растяжение подложки с прикреплёнными к ней эксплантатами эмбрионального эпителия.

1. Грант РФФИ 05-01-00892 “Математическое моделирование биологических сплошных сред с распределенной двигательной активностью”
2. Государственная программа поддержки ведущих научных школ НШ-5616.2006.1.“Математические модели в механике биологических сплошных сред”
3. Грант РФФИ 14-01-00475  Исследование структурной организации биологических объектов методами механики в приложении к глазу и клеточным системам.  Конкретная фундаментальная задача, на решение которой направлен проект – приложение разработанных в коллективе общих принципов анализа структурных механических характеристик биологических систем к конкретным объектам: глазу, активно перестраивающимся клеточным системам (в частности, эмбриональным тканям), растущим и проводящим тканям. Предполагается разработать практические рекомендации для биологических исследований и клинических приложений и непосредственно применить разработанные методики к анализу экспериментов и клинических данных. В частности, необходимо разработать методику корректной оценки механического состояния глазного яблока конкретного пациента на основе совмещения статических и динамических измерительных процедур; развить методы получения информации о структурной организации сложных клеточных систем с целью получения данных о специфике участия механических факторов в конкретных транспортно-ростовых процессах, в первую очередь процессов эмбрионального развития.

Cотрудником НИУ ВШЭ с 2000г.

Чтение лекций и проведение семинарских занятий по курсами Линейная алгебра и Математический анализ на факультетах Менеджмента, Социологии, Государственного и муницыпального управления.

 Сборник задач по алгебре. Часть 1.pdf

 Сборник задач по математическому анализу. Часть 2.pdf

 Сборник задач по математическому анализу. Ф-ция многих переменных. Часть 3.pdf

 Сборник задач по высшей математике/mirror/pubs/share/158183711

Настоящий сборник задач (последний в списке) включает разделы математики, которые, как правило, изучаются на первом курсе. Сюда относятся векторная алгебра с элементами аналитической геометрии, линейная алгебра, а также основы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. В сборник также включен раздел, посвященный основным методам решения простейших обыкновенных  дифференциальных уравнений.

         Предлагаемый задачник составлен в соответствии с программами таких курсов, как  «Алгебра и анализ» и «Математика», читаемых на различных факультетах Национального исследовательского университета «Высшей школы экономики» (НИУ ВШЭ). Изложение материала ориентировано на углубленное изучение фундаментальных математических идей и методов, широко применяемых в исследованиях социально-экономических процессов и явлений. Целью создание учебника является выработка у студентов четких практических навыков решения базовых задач, традиционно относящихся к курсам алгебры и математического анализа. Помимо стандартных задач в сборник включено некоторое количество задач, требующих для решения более глубокого понимания теоретического материала. Для облегчения восприятия и удобства пользования весь сборник разбит на разделы, которые, в свою очередь, состоят из глав и параграфов. Все разделы снабжены соответствующими методическими указаниями к решению основных задач, даны примеры решения типовых заданий. Задачи сборника снабжены ответами.

         При подборе примеров и задач привлекались разнообразные источники и, прежде всего, те книги, которые представлены в приведенном в конце задачника библиографическом списке. Сборник задач может оказаться полезным также и преподавателям при составлении контрольных и экзаменационных работ.