Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

В диссертации предложены новые методы на основе разложения тензорного поезда (tensor train; TT) для решения задач аппроксимации и оптимизации функций многих переменных, которые могут применяться для решения дифференциальных уравнений в частных производных, включая уравнение диффузии и многомерное уравнение Фоккера-Планка. Разработанные общие методы TT-ANOVA-ALS, TTOpt и Optima-TT позволяют строить суррогатные модели и осуществлять безградиентную оптимизацию для широкого класса функций, при этом, в сравнении с альтернативными подходами, они имеют преимущество по точности и скорости. Предложенная в работе схема дискретизации FS-QTT допускает использование очень мелких расчетных сеток для одномерного и двумерного уравнения диффузии, что делает ее особенно перспективной для многомасштабных задач. Разработанный метод FPCross позволяет эффективно решать уравнение Фоккера-Планка, при этом использование TT-разложения приводит к значительному снижению вычислительной сложности в многомерном случае.

В данной диссертации доказывается полиномиальность биградуированных алгебр слабых форм Якоби для систем корней типа C_n, D_n и F_4. Помимо этого в работе построены дифференциальные уравнения, связывающие образующие индекса 1 для систем корней C_n и D_n.

В диссертационной работе исследуется ряд важных задач механики и физики, которые описываются системами дифференциальных уравнений, обладающими сильной нелинейностью. В ней найдены новые классы осесимметричных решений нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и изучены их особенности при больших числах Рейнольдса, что представляет интерес для анализа явления турбулентности. Найдены новые типы неабелевых волновых решений нелинейных дифференциальных уравнений Янга-Миллса, а также новые типы их стационарных и нестационарных решений в случае сферически-симметричных источников поля классического типа. Проведен анализ системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих ядерный потенциал и движение релятивистских частиц в классическом приближении под действием ядерных и электромагнитных сил. Полученные результаты применены к изучению эффекта насыщения ядерных сил и динамики релятивистских нуклонов вблизи атомных ядер.

Метод параметрикса является хорошо известным методом построения фундаментальных решений уравнений в частных производных, в вероятностных терминах разложение параметрикса состоит в аппроксимации переходной плотности решения стохастического уравнения с переменными коэффициентами переходными плотностями решений стохастических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В частности, если возможно подобрать хороший аппроксимирующий процесс, то метод параметрикса позволяет проводить анализ слабой ошибки приближений решений стохастических дифференциальных уравнений. В данной работе я рассматриваю развитие метода параметрикса для моделей с негладкими ( непрерывными по Гельдеру) коэффициентами, примененный как к решениям стохастических дифференциальных уравнений, так и к соответствующим цепям Маркова. Также в данной работе приведена адаптация метода параметрикса для случая вырожденных по Колмогорову диффузий и соответствующих им схем Эйлера. В качестве приложения метода к задачам теории вероятностей получены результаты об устойчивости переходных плотностей решений стохастических дифференциальных уравнений и соответствующих им цепей Маркова в указанных выше моделях. Кроме того, для аппроксимаций диффузий, вырожденных по Колмогорову, получены оценки для слабой ошибки и для разности переходных плотностей при условии негладких (непрерывных по Гельдеру) коэффициентов и тестовых функций."