Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

Диссертационная работа посвящена исследованию хаотической динамики систем, описываемых диффеоморфизмами на компактных многообразиях. Разработаны новые методы анализа хаотической динамики, включая определение границ применимости теории линейного отклика и проверку неравномерной гиперболичности системы. Продемонстрирован новый сценарий столкновения хаотического аттрактора с репеллером для отображений на трехмерном торе, а также разработаны методы построения гетероразмерных циклов. Создан программный комплекс для исследования обратимых и диссипативных систем. Результаты работы представлены на международных конференциях и семинарах, а также опубликованы в ведущих журналах по теории динамического хаоса.

Диссертация посвящена вопросу гомотопической и топологической классификации сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях. В работе приводится реализация структурно устойчивого представителя, а именно диффеоморфизма Морса-Смейла с ориентируемой гетероклиникой в каждом гомотопическом классе второго типа Нильсена-Терстона. Также разработан алгоритм, позволяющий по индексам пересечения седловых сепартарис определить, к какому типу Нильсена-Терстона относится сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла поверхности. Важными результатами являются топологическая классификация сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла поверхности, а так же комбинаторный инвариант для класса сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла поверхности с ориентируемой гетроклиникой.

Данная диссертационная работа посвящена изучению диффеоморфизмов Морса-Смейла с четырьмя неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на ориентируемых замкнутых связных 3-многообразиях. Для них получены следующие результаты: -описан сценарий перехода от произвольного диффеоморфизма к диффеоморфизму с наименьшим числом гетероклинических кривых;  -доказано, что объемлющим многообразием для рассматриваемых диффеоморфизмов являются линзовые пространства; – получена топологическая классификация диффеоморфизмов из рассматриваемого класса с единственной гетероклинической кривой; доказано, что полным инвариантом является класс узла Хопфа на многообразии  ; – построены квази-энергетические функции для диффеоморфизмов, порожденных элементарным хопфовским узлом; получена точная оценка числа критических точек квази-энергетической функции для диффеоморфизмов из рассматриваемого класса.
Исследования относятся к классическим фундаментальным направлениям, результаты вносят вклад в развитие фундаментальной математики, при этом, направление динамических систем на 3-многообразиях и в частности  диффеоморфизмы Морса-Смейла имеют приложения в математических моделях большинства естественных и социальных наук.

Диссертация посвящена вопросу существования энергетических функций для диффеоморфизмов с хаотической гиперболической динамикой, заданных на замкнутых ориентируемых 2- и 3-многообразиях. В работе доказывается факт существования энергетической функции для содержательных классов омега-устойчивых 2- и 3-диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один, а также для класса 3-диффеоморфизмов, неблуждающее множество которых состоит из одномерных канонически вложенных поверхностных аттрактора и репеллера. Также доказывается факт отсутствия энергетической функции у поверхностных каскадов с нульмерными нетривиальными базисными множествами без пар сопряженных точек. Еще одна проблема, решенная в диссертационной работе, - проблема Смейла о реализации произвольной диаграммы Смейла с помощью омега-устойчивых диффеоморфизмов.

Аннотация диссертации
Диссертация посвящена классификации содержательных классов диффеоморфизмов на поверхностях с точностью до устойчивой изотопической связности.
В работе доказано, что все грубые меняющие ориентацию диффеоморфизмы окружности лежат в одном классе устойчивой изотопической связности, а каждый класс устойчивой изотопической связности сохраняющих ориентацию грубых диффеоморфизмов окружности полностью определяется числом вращения Пуанкаре. Также в работе доказан нетривиальный результат о представлении динамики любого градиентно-подобного диффеоморфизма поверхности в виде глобальной дуальной пары аттрактор-репеллер, для которой пространство блуждающих орбит является связным. Кроме того, доказан ряд утверждений, касающихся построения дуг без бифуркаций, не меняющих топологический тип рассматриваемого диффеоморфизма Морса-Смейла на многообразии, используемых для доказательства основных теорем. Изложена полная классификация сохраняющих ориентацию градиентно-подобных диффеоморфизмов 2-сферы с точностью до устойчивой изотопической связности. Доказана принадлежность одному классу устойчивой изотопической связности диффеоморфизмов Палиса, введенных им как класс поверхностных каскадов, включающихся в топологический поток, на одной и той же поверхности.

В диссертационной работе изучена конструкция комплексного числа вращения, предложенная В.И. Арнольдом в 1978 году. Её можно считать комплексным аналогом числа вращения диффеоморфизма окружности. Конструкция комплексного числа вращения позволяет применять методы комплексного анализа для изучения диффеоморфизмов окружности и их семейств. Число вращения диффеоморфизма окружности описывает его динамику: если число вращения рационально, то диффеоморфизм имеет периодические орбиты; если же оно иррационально, то (достаточно гладкий) диффеоморфизм сопряжен иррациональному повороту окружности. Первые результаты о связи комплексного и обычного числа вращения появились в1999 году (Э. Рислер) и в 2001 году (В. Молдавский); в этих работах был изучен случай диффеоморфизмов с диофантовым числом вращения. Случай диффеоморфизмов с периодическими орбитами изучался Ю.Ильяшенко и В. Молдавским (2005 г.), а также Ж. Лакруа (не опубликовано). Вопрос о комплексном числе вращения для диффеоморфизмов с лиувиллевым (иррациональным, но не диофантовым) числом вращения был включен Э. Жисом в его список проблем о динамике на окружности (2008). В диссертационной работе решен этот вопрос как для комплексного числа вращения, так и для некоторых его обобщений. Проведенные в работе исследования мотивируют введение нового фракталоподобного множества –  «пузырей», комплексного аналога «языков Арнольда». Наконец, в работе  изучается геометрическая структура «пузырей» – аналитически и с помощью численного эксперимента